Precálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = 8 x^{5}$ como una ecuación.

$y = 8 x^{5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 8 y^{5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $8 y^{5} = x$ .

$8 y^{5} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $8 y^{5} = x$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $8 y^{5} = x$ por $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y^{5}$ por $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8}}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ .

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Paso 3.4.1

Reescribe $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ como $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Paso 3.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Paso 3.4.3.2

Eleva $\sqrt[5]{8}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Paso 3.4.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Paso 3.4.3.4

Suma $1$ y $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Paso 3.4.3.5

Reescribe ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ como $8$ .

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Paso 3.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{8}$ como $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Paso 3.4.3.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Paso 3.4.3.5.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Paso 3.4.3.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.4.3.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Paso 3.4.3.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Paso 3.4.3.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Reescribe ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ como $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Paso 3.4.4.2

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4096}}{8}$

Paso 3.4.4.3

Reescribe $4096$ como $4^{5} \cdot 4$ .

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Paso 3.4.4.3.1

Factoriza $1024$ de $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Paso 3.4.4.3.2

Reescribe $1024$ como $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Paso 3.4.4.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Paso 3.4.4.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{8}$

Paso 3.4.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.4.5.1

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 3.4.5.1.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt[5]{x \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{x \cdot 4})}{8}$

Paso 3.4.5.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.5.1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Paso 3.4.5.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Paso 3.4.5.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$

Paso 3.4.5.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 8 x^{5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (8 x^{5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5})}}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $4$ por $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe $32 x^{5}$ como ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Paso 5.2.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})}^{5}$

Paso 5.3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 x}}^{5}}{2^{5}})$

Paso 5.3.4

Reescribe ${\sqrt[5]{4 x}}^{5}$ como $4 x$ .

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Paso 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{4 x}$ como ${(4 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}})$

Paso 5.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}})$

Paso 5.3.4.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Paso 5.3.4.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Paso 5.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Paso 5.3.4.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Paso 5.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{32})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $8$ de $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 (4)})$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 \cdot 4})$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.3.7.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 8 x^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$