Precálculo Ejemplos

$h (x) = \frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$h (x + h) = \frac{1}{8} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$h (x + h) = \frac{1}{8} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$h (x + h) = \frac{1}{8} x^{3} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $x^{3}$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{8} (3 x^{2} h)$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{8}$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{8}$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot 3}{8} \cdot h + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.3.2.3

Combina $\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ y $h$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{8} (3 x h^{2})$ .

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Paso 2.1.2.1.3.3.1

Combina $3$ y $\frac{1}{8}$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.3.3.2

Combina $x$ y $\frac{3}{8}$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot 3}{8} \cdot h^{2} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.3.3.3

Combina $\frac{x \cdot 3}{8}$ y $h^{2}$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.3.4

Combina $\frac{1}{8}$ y $h^{3}$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (x^{2} h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.4.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2.1.5

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - ((x + h) (x + h))$

Paso 2.1.2.1.6

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 2.1.2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 2.1.2.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.1.7.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.1.7.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.7.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.1.7.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Paso 2.1.2.1.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$h (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Paso 2.2.2

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Paso 2.2.3

Mueve $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - 2 h x - h^{2} - x^{2}$

Paso 2.2.4

Mueve $- 2 h x$ .

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Paso 2.2.5

Mueve $\frac{x^{3}}{8}$ .

$\frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Paso 2.2.6

Mueve $\frac{3 h x^{2}}{8}$ .

$\frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Paso 2.2.7

Reordena $\frac{3 h^{2} x}{8}$ y $\frac{h^{3}}{8}$ .

$\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$h (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$h (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

$h (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$h (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{h (x + h) - h x}{h} = \frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - (\frac{x^{3}}{8} - x^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} - - x^{2}}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- - x^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + 1 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + x^{2}}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $\frac{x^{3}}{8}$ de $\frac{x^{3}}{8}$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 0 + x^{2}}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $\frac{h^{3}}{8}$ y $0$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + x^{2}}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x + 0}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x$ y $0$ .

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{h^{3} + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.8

Factoriza $h^{2}$ de $h^{3} + 3 h^{2} x$ .

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Paso 4.1.8.1

Factoriza $h^{2}$ de $h^{3}$ .

$\frac{\frac{h^{2} h + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.8.2

Factoriza $h^{2}$ de $3 h^{2} x$ .

$\frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.8.3

Factoriza $h^{2}$ de $h^{2} h + h^{2} (3 x)$ .

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.10.1

Factoriza $h$ de $h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}$ .

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Paso 4.1.10.1.1

Factoriza $h$ de $h^{2} (h + 3 x)$ .

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.10.1.2

Factoriza $h$ de $3 h x^{2}$ .

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.10.1.3

Factoriza $h$ de $h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})$ .

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.10.3

Multiplica $h$ por $h$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.10.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.11

Para escribir $- h^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} \cdot \frac{8}{8} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.12

Combina $- h^{2}$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} + \frac{- h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.14

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.14.1

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8$ .

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Paso 4.1.14.1.1

Factoriza $h$ de $- h^{2} \cdot 8$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.14.1.2

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.14.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.15

Para escribir $- 2 h x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x \cdot \frac{8}{8}}{h}$

Paso 4.1.16

Combina $- 2 h x$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} + \frac{- 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

Paso 4.1.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

Paso 4.1.18

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.18.1

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8$ .

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Paso 4.1.18.1.1

Factoriza $h$ de $- 2 h x \cdot 8$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

Paso 4.1.18.1.2

Factoriza $h$ de $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

Paso 4.1.18.2

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8}}{h}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 4.3

Combinar.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

Paso 4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8}$

Paso 4.5

Multiplica $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x$ por $1$ .

$\frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x}{8}$

Paso 5