Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ no está definida.

$x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, x = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ desde la derecha, entonces $x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ es una asíntota vertical.

$x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Paso 3

Como $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ desde la derecha, entonces $x = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ es una asíntota vertical.

$x = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(x^{3} - x^{2}) + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x^{2} (x - 1) + 1 (x - 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.2

Expande $(x - 1) (x^{2} + 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x^{2} + 1) - 1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.2.4

Reordena $x$ y $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.2.7

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.2.8

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.2.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x^{2} - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.2.10

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} - 1 x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

Paso 8.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

Paso 8.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Paso 8.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Paso 8.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$3 x$

Paso 8.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

						$x$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Paso 8.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Paso 8.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
							-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	+	$8$

Paso 8.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} - 12 x + 8$ .

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
							+	$4 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Paso 8.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
							+	$4 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
									+	$15 x$	-	$9$

Paso 8.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x - 4 + \frac{15 x - 9}{x^{2} + 3 x - 2}$

Paso 8.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x - 4$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x - 4$

Paso 10