Precálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ no está definida.

$x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}$

Paso 2

Como $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ desde la izquierda y $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ desde la derecha, entonces $x = - \sqrt{3}$ es una asíntota vertical.

$x = - \sqrt{3}$

Paso 3

Como $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ desde la izquierda y $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ desde la derecha, entonces $x = \sqrt{3}$ es una asíntota vertical.

$x = \sqrt{3}$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) + 3}$

Paso 8.1.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) - 1 (- 3)}$

Paso 8.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2} - 3)}$

Paso 8.1.4

Reescribe los negativos.

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Paso 8.1.4.1

Reescribe $- (x^{2} - 3)$ como $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- 1 (x^{2} - 3)}$

Paso 8.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{x^{2} - 3}$

Paso 8.2

Expande $- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)$ .

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Paso 8.2.1

Haz que $2 x^{3} + 4 x^{2} - 9$ sea negativo.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)}{x^{2} - 3}$

Paso 8.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Paso 8.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Paso 8.2.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Paso 8.2.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Paso 8.2.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Paso 8.2.7

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Paso 8.2.8

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Paso 8.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

Paso 8.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

Paso 8.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

$2 x^{3}$

$0$

$6 x$

Paso 8.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{3} + 0 + 6 x$ .

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$

Paso 8.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 8.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Paso 8.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Paso 8.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$12$

Paso 8.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} + 0 + 12$ .

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$

Paso 8.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$3$

Paso 8.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- 2 x - 4 + \frac{- 6 x - 3}{x^{2} - 3}$

Paso 8.14

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$- 2 x - 4 + \frac{6 x + 3}{- x^{2} + 3}$

Paso 8.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - 2 x - 4$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - 2 x - 4$

Paso 10