Preálgebra Ejemplos

$\frac{3 x}{x^{2} + 5 x + 6} + \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} + 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $5$ .

$2, 3$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} + 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) (x + 3) (x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3 x}{(x + 2) (x + 3)}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x - 2}{(x - 1) (x + 3)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 1) (x + 3) (x + 2)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + 3) (x + 2)$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x (x - 1) + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + (x - 2) (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.4

Expande $(x - 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x (x + 2) - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.5

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Paso 6.5.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot 2$ y $- 2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.5.2

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.5.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x \cdot x - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x^{2} - 2 \cdot 2}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.6.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + x^{2} - 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$

Paso 6.7

Suma $3 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 3 x - 4}{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}$