Preálgebra Ejemplos

$\frac{64 x^{3} - 1}{2 x^{2} - 6 x + 18} \div \frac{48 x^{2} + 12 x + 3}{6 x^{3} + 162}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{64 x^{3} - 1}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $64 x^{3}$ como ${(4 x)}^{3}$ .

$\frac{{(4 x)}^{3} - 1}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 2.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{{(4 x)}^{3} - 1^{3}}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 4 x$ y $b = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$\frac{(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 2.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 2.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2})}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 2.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 x^{2} - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 6 x + 18$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2}) - 6 x + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.2

Factoriza $2$ de $- 6 x$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) + 18} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $18$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 \cdot 9} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 3 x)$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot 9} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 3.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 3 x) + 2 \cdot 9$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{6 x^{3} + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 4

Cancela el factor común de $6 x^{3} + 162$ y $48 x^{2} + 12 x + 3$ .

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Paso 4.1

Factoriza $3$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3}) + 162}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 4.2

Factoriza $3$ de $162$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3}) + 3 \cdot 54}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 4.3

Factoriza $3$ de $3 (2 x^{3}) + 3 (54)$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{48 x^{2} + 12 x + 3}$

Paso 4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.1

Factoriza $3$ de $48 x^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2}) + 12 x + 3}$

Paso 4.4.2

Factoriza $3$ de $12 x$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2}) + 3 (4 x) + 3}$

Paso 4.4.3

Factoriza $3$ de $3 (16 x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x) + 3}$

Paso 4.4.4

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x) + 3 (1)}$

Paso 4.4.5

Factoriza $3$ de $3 (16 x^{2} + 4 x) + 3 (1)$ .

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x + 1)}$

Paso 4.4.6

Cancela el factor común.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{3 (2 x^{3} + 54)}{3 (16 x^{2} + 4 x + 1)}$

Paso 4.4.7

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x^{3} + 54}{16 x^{2} + 4 x + 1}$

Paso 5

Cancela el factor común de $16 x^{2} + 4 x + 1$ .

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Paso 5.1

Factoriza $16 x^{2} + 4 x + 1$ de $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1)$ .

$\frac{(16 x^{2} + 4 x + 1) (4 x - 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x^{3} + 54}{16 x^{2} + 4 x + 1}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{(16 x^{2} + 4 x + 1) (4 x - 1)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} \cdot \frac{2 x^{3} + 54}{16 x^{2} + 4 x + 1}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x - 1}{2 (x^{2} - 3 x + 9)} (2 x^{3} + 54)$

Paso 6

Multiplica $\frac{4 x - 1}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$ por $2 x^{3} + 54$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x^{3} + 54)}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $2 x^{3} + 54$ y $2$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $(4 x - 1) (2 x^{3} + 54)$ .

$\frac{2 ((4 x - 1) (x^{3} + 27))}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((4 x - 1) (x^{3} + 27))}{2 (x^{2} - 3 x + 9)}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 x - 1) (x^{3} + 27)}{x^{2} - 3 x + 9}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{(4 x - 1) (x^{3} + 3^{3})}{x^{2} - 3 x + 9}$

Paso 8.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}))}{x^{2} - 3 x + 9}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}))}{x^{2} - 3 x + 9}$

Paso 8.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 9))}{x^{2} - 3 x + 9}$

$\frac{(4 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x^{2} - 3 x + 9}$

Paso 9

Cancela el factor común de $x^{2} - 3 x + 9$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 x - 1) (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x^{2} - 3 x + 9}$

Paso 9.2

Divide $(4 x - 1) (x + 3)$ por $1$ .

$(4 x - 1) (x + 3)$

Paso 10

Expande $(4 x - 1) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x (x + 3) - 1 (x + 3)$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 - 1 (x + 3)$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3$

Paso 11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1.1.1

Mueve $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3$

Paso 11.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3$

Paso 11.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$4 x^{2} + 12 x - 1 x - 1 \cdot 3$

Paso 11.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$4 x^{2} + 12 x - x - 1 \cdot 3$

Paso 11.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$4 x^{2} + 12 x - x - 3$

Paso 11.2

Resta $x$ de $12 x$ .

$4 x^{2} + 11 x - 3$