Preálgebra Ejemplos

$\frac{3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \div \frac{8 x + 24 y}{x + y}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 2.1.2

Factoriza $3$ de $18 x y$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (6 x y) + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 2.1.3

Factoriza $3$ de $27 y^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (6 x y) + 3 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 2.1.4

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (6 x y)$ .

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y) + 3 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + 6 x y) + 3 (9 y^{2})$ .

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x y = 2 \cdot x \cdot (3 y)$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (3 y) + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3 y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ y cuya suma es $b = 6$ .

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Paso 3.1.1

Reordena los términos.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 5 y^{2} + 6 x y} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 3.1.2

Reordena $5 y^{2}$ y $6 x y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 3.1.3

Factoriza $6$ de $6 x y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 3.1.4

Reescribe $6$ como $1$ más $5$

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + (1 + 5) (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 1 (x y) + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 3.1.6

Multiplica $x y$ por $1$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 3.1.7

Mueve los paréntesis.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x^{2} + x y) + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x (x + y) + 5 y (x + y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 4

Cancela el factor común de $x + y$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y} \cdot \frac{1}{8 x + 24 y}$

Paso 5

Multiplica $\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y}$ por $\frac{1}{8 x + 24 y}$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 x + 24 y)}$

Paso 6

Factoriza $8$ de $8 x + 24 y$ .

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Paso 6.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x) + 24 y)}$

Paso 6.2

Factoriza $8$ de $24 y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x) + 8 (3 y))}$

Paso 6.3

Factoriza $8$ de $8 (x) + 8 (3 y)$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x + 3 y))}$

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)}$

Paso 7

Cancela el factor común de ${(x + 3 y)}^{2}$ y $x + 3 y$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x + 3 y$ de $3 {(x + 3 y)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)}$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Factoriza $x + 3 y$ de $(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)$ .

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 3 y) ((x + 5 y) \cdot 8)}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 3 y) ((x + 5 y) \cdot 8)}$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (x + 3 y)}{(x + 5 y) \cdot 8}$

Paso 8

Mueve $8$ a la izquierda de $x + 5 y$ .

$\frac{3 (x + 3 y)}{8 (x + 5 y)}$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 3 (3 y)}{8 (x + 5 y)}$

Paso 10

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{3 x + 9 y}{8 (x + 5 y)}$

Paso 11

Divide la fracción $\frac{3 x + 9 y}{8 (x + 5 y)}$ en dos fracciones.

$\frac{3 x}{8 (x + 5 y)} + \frac{9 y}{8 (x + 5 y)}$