Preálgebra Ejemplos

$\frac{3 t - 22 t + 7}{3 t^{2} + 8 t - 3} \div \frac{2 t^{2} - 10 t + 1}{7 t^{2} + 20 t - 3}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{3 t - 22 t + 7}{3 t^{2} + 8 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 2

Resta $22 t$ de $3 t$ .

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} + 8 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ y cuya suma es $b = 8$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $8$ de $8 t$ .

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} + 8 (t) - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 3.1.2

Reescribe $8$ como $- 1$ más $9$

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} + (- 1 + 9) t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} - 1 t + 9 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t^{2} - 1 t) + 9 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{- 19 t + 7}{t (3 t - 1) + 3 (3 t - 1)} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 t - 1$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 7 \cdot - 3 = - 21$ y cuya suma es $b = 20$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $20$ de $20 t$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 (t) - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 4.1.2

Reescribe $20$ como $- 1$ más $21$

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} + (- 1 + 21) t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} - 1 t + 21 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{(7 t^{2} - 1 t) + 21 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{t (7 t - 1) + 3 (7 t - 1)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $7 t - 1$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{(7 t - 1) (t + 3)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 5

Cancela el factor común de $t + 3$ .

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Paso 5.1

Factoriza $t + 3$ de $(3 t - 1) (t + 3)$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(t + 3) (3 t - 1)} \cdot \frac{(7 t - 1) (t + 3)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 5.2

Factoriza $t + 3$ de $(7 t - 1) (t + 3)$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(t + 3) (3 t - 1)} \cdot \frac{(t + 3) (7 t - 1)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 5.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 19 t + 7}{(t + 3) (3 t - 1)} \cdot \frac{(t + 3) (7 t - 1)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 19 t + 7}{3 t - 1} \cdot \frac{7 t - 1}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Paso 6

Multiplica $\frac{- 19 t + 7}{3 t - 1}$ por $\frac{7 t - 1}{2 t^{2} - 10 t + 1}$ .

$\frac{(- 19 t + 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 7

Factoriza $- 1$ de $- 19 t$ .

$\frac{(- (19 t) + 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 8

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$\frac{(- (19 t) - 1 (- 7)) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 9

Factoriza $- 1$ de $- (19 t) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (19 t - 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 10

Reescribe $- (19 t - 7)$ como $- 1 (19 t - 7)$ .

$\frac{- 1 (19 t - 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(19 t - 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 12

Expande $(19 t - 7) (7 t - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{19 t (7 t - 1) - 7 (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{19 t (7 t) + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{19 t (7 t) + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{19 \cdot 7 t \cdot t + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 13.1.2

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.2.1

Mueve $t$ .

$- \frac{19 \cdot 7 (t \cdot t) + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 13.1.2.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$- \frac{19 \cdot 7 t^{2} + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 13.1.3

Multiplica $19$ por $7$ .

$- \frac{133 t^{2} + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 1$ por $19$ .

$- \frac{133 t^{2} - 19 t - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 13.1.5

Multiplica $7$ por $- 7$ .

$- \frac{133 t^{2} - 19 t - 49 t - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 13.1.6

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$- \frac{133 t^{2} - 19 t - 49 t + 7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 13.2

Resta $49 t$ de $- 19 t$ .

$- \frac{133 t^{2} - 68 t + 7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Paso 14

Divide la fracción $\frac{133 t^{2} - 68 t + 7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$ en dos fracciones.

$- (\frac{133 t^{2} - 68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)})$

Paso 15

Divide la fracción $\frac{133 t^{2} - 68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$ en dos fracciones.

$- (\frac{133 t^{2}}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{- 68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)})$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{133 t^{2}}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} - \frac{68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)})$