Preálgebra Ejemplos

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$ por $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$ por $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{(6 + 2 \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}$

Paso 3

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{36 - 12 \sqrt{5} + 12 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{16}$

Paso 5

Cancela el factor común de $6 - 2 \sqrt{5}$ y $16$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{16}$

Paso 5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{2 (8)}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 8}$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{8}$

Paso 6

Expande $(2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (3 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{8}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{8}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Paso 7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Paso 7.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{5}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Paso 7.1.4

Multiplica $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Paso 7.1.4.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{8}$

Paso 7.1.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{8}$

Paso 7.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{8}$

Paso 7.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{8}$

Paso 7.1.5

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 7.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Paso 7.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Paso 7.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{8}$

Paso 7.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{8}$

Paso 7.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{1}}{8}$

Paso 7.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{8}$

Paso 7.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5}{8}$

Paso 7.2

Resta $5$ de $6$ .

$\frac{1 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{8}$

Paso 7.3

Suma $- 2 \sqrt{5}$ y $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$

Paso 8

Divide la fracción $\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$ en dos fracciones.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}$

Forma decimal:

$0.40450849 \dots$