Preálgebra Ejemplos

$\frac{12 k^{2} - 5 k - 2}{k^{2} + 9 k} \div \frac{3 k^{2}}{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{12 k^{2} - 5 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot - 2 = - 24$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 k$ .

$\frac{12 k^{2} - 5 (k) - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 2.1.2

Reescribe $- 5$ como $3$ más $- 8$

$\frac{12 k^{2} + (3 - 8) k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 k^{2} + 3 k - 8 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(12 k^{2} + 3 k) - 8 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{3 k (4 k + 1) - 2 (4 k + 1)}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 3

Factoriza $k$ de $k^{2} + 9 k$ .

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Paso 3.1

Factoriza $k$ de $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k \cdot k + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 3.2

Factoriza $k$ de $9 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k \cdot k + k \cdot 9} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 3.3

Factoriza $k$ de $k \cdot k + k \cdot 9$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Factoriza $k$ de $k^{3} + 7 k^{2} - 18 k$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $k$ de $k^{3}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 4.1.2

Factoriza $k$ de $7 k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k (7 k) - 18 k}{3 k^{2}}$

Paso 4.1.3

Factoriza $k$ de $- 18 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k (7 k) + k \cdot - 18}{3 k^{2}}$

Paso 4.1.4

Factoriza $k$ de $k \cdot k^{2} + k (7 k)$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k^{2} + 7 k) + k \cdot - 18}{3 k^{2}}$

Paso 4.1.5

Factoriza $k$ de $k (k^{2} + 7 k) + k \cdot - 18$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k^{2} + 7 k - 18)}{3 k^{2}}$

Paso 4.2

Factoriza $k^{2} + 7 k - 18$ con el método AC.

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Paso 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $7$ .

$- 2, 9$

Paso 4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k ((k - 2) (k + 9))}{3 k^{2}}$

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k - 2) (k + 9)}{3 k^{2}}$

Paso 5

Combinar.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k (k + 9) (3 k^{2})}$

Paso 6

Multiplica $k$ por $k^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2} k (k + 9) \cdot 3}$

Paso 6.2

Multiplica $k^{2}$ por $k$ .

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Paso 6.2.1

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2} k^{1} (k + 9) \cdot 3}$

Paso 6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2 + 1} (k + 9) \cdot 3}$

Paso 6.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{3} (k + 9) \cdot 3}$

Paso 7

Cancela el factor común de $k$ y $k^{3}$ .

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Paso 7.1

Factoriza $k$ de $(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))$ .

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k^{3} (k + 9) \cdot 3}$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Factoriza $k$ de $k^{3} (k + 9) \cdot 3$ .

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k ((k^{2} (k + 9)) \cdot 3)}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k ((k^{2} (k + 9)) \cdot 3)}$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9))}{(k^{2} (k + 9)) \cdot 3}$

Paso 8

Cancela el factor común de $k + 9$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9))}{k^{2} (k + 9) \cdot 3}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k - 2)}{(k^{2}) \cdot 3}$

Paso 9

Mueve $3$ a la izquierda de $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 10

Expande $(4 k + 1) (3 k - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 k (3 k - 2) + 1 (3 k - 2)) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 k (3 k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k - 2)) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 k (3 k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(4 \cdot 3 k \cdot k + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 11.1.2

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 11.1.2.1

Mueve $k$ .

$\frac{(4 \cdot 3 (k \cdot k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 11.1.2.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$\frac{(4 \cdot 3 k^{2} + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 11.1.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{(12 k^{2} + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 11.1.4

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 11.1.5

Multiplica $3 k$ por $1$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 3 k + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 11.1.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 3 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 11.2

Suma $- 8 k$ y $3 k$ .

$\frac{(12 k^{2} - 5 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Paso 12

Expande $(12 k^{2} - 5 k - 2) (k - 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{12 k^{2} k + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Paso 13

Simplifica cada término.

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Paso 13.1

Multiplica $k^{2}$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1

Mueve $k$ .

$\frac{12 (k \cdot k^{2}) + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Paso 13.1.2

Multiplica $k$ por $k^{2}$ .

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Paso 13.1.2.1

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (k^{1} k^{2}) + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Paso 13.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 k^{1 + 2} + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Paso 13.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{12 k^{3} + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Paso 13.2

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Paso 13.3

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 13.3.1

Mueve $k$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 (k \cdot k) - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Paso 13.3.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Paso 13.4

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} + 10 k - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Paso 13.5

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} + 10 k - 2 k + 4}{3 k^{2}}$

Paso 14

Resta $5 k^{2}$ de $- 24 k^{2}$ .

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 10 k - 2 k + 4}{3 k^{2}}$

Paso 15

Resta $2 k$ de $10 k$ .

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k + 4}{3 k^{2}}$

Paso 16

Divide la fracción $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k + 4}{3 k^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 17

Divide la fracción $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k}{3 k^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 18

Divide la fracción $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2}}{3 k^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{12 k^{3}}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 19

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 19.1

Factoriza $3$ de $12 k^{3}$ .

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 19.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 19.2.1

Factoriza $3$ de $3 k^{2}$ .

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 (k^{2})} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 19.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 19.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 k^{3}}{k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 20

Cancela el factor común de $k^{3}$ y $k^{2}$ .

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Paso 20.1

Factoriza $k^{2}$ de $4 k^{3}$ .

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 20.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 20.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2} \cdot 1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 20.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2} \cdot 1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 20.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 k}{1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 20.2.4

Divide $4 k$ por $1$ .

$4 k + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 21

Cancela el factor común de $k^{2}$ .

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Paso 21.1

Cancela el factor común.

$4 k + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 21.2

Reescribe la expresión.

$4 k + \frac{- 29}{3} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 23

Cancela el factor común de $k$ y $k^{2}$ .

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Paso 23.1

Factoriza $k$ de $8 k$ .

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 23.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 23.2.1

Factoriza $k$ de $3 k^{2}$ .

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{k (3 k)} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 23.2.2

Cancela el factor común.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{k (3 k)} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Paso 23.2.3

Reescribe la expresión.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{8}{3 k} + \frac{4}{3 k^{2}}$