Preálgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3

Expande $(x - 3) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 1) - 3 (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 3 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.2

Resta $3 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 5

Divide la fracción $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 6

Divide la fracción $\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 2)}^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$