Preálgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 25}{8 x - 8} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x^{2} + 4 x - 5}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 25}{8 x - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{8 x - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 3

Factoriza $8$ de $8 x - 8$ .

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Paso 3.1

Factoriza $8$ de $8 x$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x) - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 3.2

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x) + 8 (- 1)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 3.3

Factoriza $8$ de $8 (x) + 8 (- 1)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 10 x + 25}$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 6

Combinar.

$\frac{(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x + 5))}{8 (x - 1) {(x + 5)}^{2}}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x + 5$ y ${(x + 5)}^{2}$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x + 5$ de $(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x + 5))$ .

$\frac{(x + 5) ((x - 5) ((x - 1) (x + 5)))}{8 (x - 1) {(x + 5)}^{2}}$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Factoriza $x + 5$ de $8 (x - 1) {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{(x + 5) ((x - 5) ((x - 1) (x + 5)))}{(x + 5) (8 (x - 1) (x + 5))}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 5) ((x - 5) ((x - 1) (x + 5)))}{(x + 5) (8 (x - 1) (x + 5))}$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 5) ((x - 1) (x + 5))}{8 (x - 1) (x + 5)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 5) ((x - 1) (x + 5))}{8 (x - 1) (x + 5)}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{8 (x + 5)}$

Paso 9

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{8 (x + 5)}$

Paso 9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 5}{8}$

Paso 10

Divide la fracción $\frac{x - 5}{8}$ en dos fracciones.

$\frac{x}{8} + \frac{- 5}{8}$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x}{8} - \frac{5}{8}$