Preálgebra Ejemplos

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \div \frac{a^{2} - 13 a + 36}{45 - 5 a}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Paso 2

Factoriza $a^{2} - a - 20$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 5, 4$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 5$ .

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Paso 4

Cancela el factor común de $a - 5$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Paso 5

Factoriza $5$ de $45 - 5 a$ .

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Paso 5.1

Factoriza $5$ de $45$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Paso 5.2

Factoriza $5$ de $- 5 a$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) + 5 (- a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

Paso 5.3

Factoriza $5$ de $5 (9) + 5 (- a)$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

Paso 6

Factoriza $a^{2} - 13 a + 36$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $36$ y cuya suma es $- 13$ .

$- 9, - 4$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $9 - a$ y $a - 9$ .

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Paso 7.1

Reescribe $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

Paso 7.2

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - (a))}{(a - 9) (a - 4)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 9) - (a)$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9 + a))}{(a - 9) (a - 4)}$

Paso 7.4

Reordena los términos.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

Paso 7.5

Cancela el factor común.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

Paso 7.6

Reescribe la expresión.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 \cdot (- 1)}{a - 4}$

Paso 8

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{- 5}{a - 4}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{a + 4}{a + 5} (- \frac{5}{a - 4})$

Paso 10

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5}{a - 4}$

Paso 11

Multiplica $\frac{5}{a - 4}$ por $\frac{a + 4}{a + 5}$ .

$- \frac{5 (a + 4)}{(a - 4) (a + 5)}$

Paso 12

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{5 a + 5 \cdot 4}{(a - 4) (a + 5)}$

Paso 13

Multiplica $5$ por $4$ .

$- \frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$

Paso 14

Divide la fracción $\frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$ en dos fracciones.

$- (\frac{5 a}{(a - 4) (a + 5)} + \frac{20}{(a - 4) (a + 5)})$