Preálgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 8 x + 12}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} - 2^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 12}{x^{2} - 9}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - 8 x + 12$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 8$ .

$- 6, - 2$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 2)}{x^{2} - 9}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 2)}{x^{2} - 3^{2}}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 6

Combinar.

$\frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 6) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) ((x + 3) (x - 3))}$

Paso 7

Cancela el factor común de ${(x - 3)}^{2}$ y $x - 3$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x - 3$ de ${(x - 3)}^{2} ((x - 6) (x - 2))$ .

$\frac{(x - 3) ((x - 3) ((x - 6) (x - 2)))}{(x + 2) (x - 2) ((x + 3) (x - 3))}$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Factoriza $x - 3$ de $(x + 2) (x - 2) ((x + 3) (x - 3))$ .

$\frac{(x - 3) ((x - 3) ((x - 6) (x - 2)))}{(x - 3) ((x + 2) (x - 2) (x + 3))}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) ((x - 3) ((x - 6) (x - 2)))}{(x - 3) ((x + 2) (x - 2) (x + 3))}$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 3) ((x - 6) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)}$

Paso 8

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 8.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 3) ((x - 6) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2) (x + 3)}$

Paso 8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 3) (x - 6)}{(x + 2) (x + 3)}$