Preálgebra Ejemplos

$\frac{z^{2} + 11 z + 18}{z^{2} + 14 z + 45} \div \frac{z^{2} + 2 z}{z^{2} + 10 z + 25}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{z^{2} + 11 z + 18}{z^{2} + 14 z + 45} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Paso 2

Factoriza $z^{2} + 11 z + 18$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $11$ .

$2, 9$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(z + 2) (z + 9)}{z^{2} + 14 z + 45} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Paso 3

Factoriza $z^{2} + 14 z + 45$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $45$ y cuya suma es $14$ .

$5, 9$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(z + 2) (z + 9)}{(z + 5) (z + 9)} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Paso 4

Cancela el factor común de $z + 9$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(z + 2) (z + 9)}{(z + 5) (z + 9)} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 5^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 z = 2 \cdot z \cdot 5$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{z^{2} + 2 \cdot z \cdot 5 + 5^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = z$ y $b = 5$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Paso 6

Factoriza $z$ de $z^{2} + 2 z$ .

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Paso 6.1

Factoriza $z$ de $z^{2}$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{z \cdot z + 2 z}$

Paso 6.2

Factoriza $z$ de $2 z$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{z \cdot z + z \cdot 2}$

Paso 6.3

Factoriza $z$ de $z \cdot z + z \cdot 2$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{z (z + 2)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $z + 2$ .

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Paso 7.1

Factoriza $z + 2$ de $z (z + 2)$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{(z + 2) z}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{(z + 2) z}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{z}$

Paso 8

Cancela el factor común de $z + 5$ .

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Paso 8.1

Factoriza $z + 5$ de ${(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{1}{z + 5} \cdot \frac{(z + 5) (z + 5)}{z}$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{z + 5} \cdot \frac{(z + 5) (z + 5)}{z}$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{z + 5}{z}$

Paso 9

Divide la fracción $\frac{z + 5}{z}$ en dos fracciones.

$\frac{z}{z} + \frac{5}{z}$

Paso 10

Cancela el factor común de $z$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$\frac{z}{z} + \frac{5}{z}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{5}{z}$