Preálgebra Ejemplos

$\frac{\frac{x^{3} - 125}{x^{3} + 125}}{\frac{x^{2} - 25}{x^{2} \cdot (5 x) + 25}}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x^{3} - 125}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 5^{3}}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 \cdot x + 5^{2})}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Paso 2.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{x^{3} + 125} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{x^{3} + 5^{3}} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2})} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2})} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Paso 3.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{x^{2} \cdot (5 x) + 25}{x^{2} - 25}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Factoriza $5$ de $x^{2} \cdot (5 x) + 25$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $5$ de $x^{2} \cdot (5 x)$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x)) + 25}{x^{2} - 25}$

Paso 4.1.2

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x)) + 5 \cdot 5}{x^{2} - 25}$

Paso 4.1.3

Factoriza $5$ de $5 (x^{2} \cdot (x)) + 5 \cdot 5$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot (x) + 5)}{x^{2} - 25}$

Paso 4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2} \cdot x^{1} + 5)}{x^{2} - 25}$

Paso 4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{2 + 1} + 5)}{x^{2} - 25}$

Paso 4.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{x^{2} - 25}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{x^{2} - 5^{2}}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)} \cdot \frac{5 (x^{3} + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Paso 6

Combinar.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) ((x + 5) (x - 5))}$

Paso 7

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) ((x + 5) (x - 5))}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) (5 (x^{3} + 5))}{(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) (x + 5)}$

Paso 8

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1} (x + 5) (x^{2} - 5 x + 25)}$

Paso 8.2

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1} (x^{2} - 5 x + 25)}$

Paso 8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{1 + 1} (x^{2} - 5 x + 25)}$

Paso 8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5 x + 25) \cdot 5 (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x^{2} - 5 x + 25)}$

Paso 9

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2} + 5 x + 25$ .

$\frac{5 (x^{2} + 5 x + 25) (x^{3} + 5)}{{(x + 5)}^{2} (x^{2} - 5 x + 25)}$