Preálgebra Ejemplos

$\frac{\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 6 x + 9}}{\frac{1}{x + 5}}$

Paso 1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 6 x + 9} (x + 5)$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 4 x - 5$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 6 x + 9} (x + 5)$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 6 x + 3^{2}} (x + 5)$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} (x + 5)$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}} (x + 5)$

Paso 4

Multiplica $\frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}}$ por $x + 5$ .

$\frac{(x - 1) (x + 5) (x + 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 1) ({(x + 5)}^{1} (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.2

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 1) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x - 1) {(x + 5)}^{1 + 1}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x - 1) {(x + 5)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 6

Reescribe ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 7

Expande $(x + 5) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) (x (x + 5) + 5 (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 8.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 8.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 8.2

Suma $5 x$ y $5 x$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 9

Expande $(x - 1) (x^{2} + 10 x + 25)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 10.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 10.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} + 10 (x \cdot x) + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + x \cdot 25 - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10.4

Mueve $25$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x - 1 x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10.5

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 1 (10 x) - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10.6

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 10 x - 1 \cdot 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 10.7

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} + 25 x - x^{2} - 10 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 11

Resta $x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 25 x - 10 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 12

Resta $10 x$ de $25 x$ .

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 13

Divide la fracción $\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x - 25}{{(x - 3)}^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 14

Divide la fracción $\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 15 x}{{(x - 3)}^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{3} + 9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 15

Divide la fracción $\frac{x^{3} + 9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{x^{3}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{- 25}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{3}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{9 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{15 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{25}{{(x - 3)}^{2}}$