Preálgebra Ejemplos

$\frac{f^{2} - 9}{- f^{3} + 6 f^{2}} \div \frac{- 9 f - 27}{f^{2} - 12 f + 36}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{f^{2} - 9}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{f^{2} - 3^{2}}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = f$ y $b = 3$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Paso 3

Factoriza $f^{2}$ de $- f^{3} + 6 f^{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $f^{2}$ de $- f^{3}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f) + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Paso 3.2

Factoriza $f^{2}$ de $6 f^{2}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f) + f^{2} \cdot 6} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Paso 3.3

Factoriza $f^{2}$ de $f^{2} (- f) + f^{2} \cdot 6$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 6^{2}}{- 9 f - 27}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$12 f = 2 \cdot f \cdot 6$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 2 \cdot f \cdot 6 + 6^{2}}{- 9 f - 27}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = f$ y $b = 6$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{- 9 f - 27}$

Paso 5

Factoriza $9$ de $- 9 f - 27$ .

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Paso 5.1

Factoriza $9$ de $- 9 f$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f) - 27}$

Paso 5.2

Factoriza $9$ de $- 27$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f) + 9 (- 3)}$

Paso 5.3

Factoriza $9$ de $9 (- f) + 9 (- 3)$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f - 3)}$

Paso 6

Combinar.

$\frac{(f + 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Paso 7

Cancela el factor común de $f + 3$ y $- f - 3$ .

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $f$ .

$\frac{(- 1 (- f) + 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Paso 7.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{(- 1 (- f) - 1 (- 3)) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- f) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- 1 (- f - 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Paso 7.4

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- f - 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Paso 7.5

Reescribe la expresión.

$\frac{(- 1 (f - 3)) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Paso 8

Cancela el factor común de ${(f - 6)}^{2}$ y $- f + 6$ .

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Paso 8.1

Factoriza $- 1$ de $f$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f) - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Paso 8.2

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f) - 1 (6))}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Paso 8.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- f) - 1 (6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f + 6))}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Paso 8.4

Aplica la regla del producto a $- 1 (- f + 6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) ({(- 1)}^{2} {(- f + 6)}^{2})}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Paso 8.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 1 (f - 3) (1 {(- f + 6)}^{2})}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Paso 8.6

Multiplica ${(- f + 6)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- f + 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Paso 8.7

Factoriza $- f + 6$ de $- 1 (f - 3) {(- f + 6)}^{2}$ .

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{f^{2} (- f + 6) \cdot 9}$

Paso 8.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.8.1

Factoriza $- f + 6$ de $f^{2} (- f + 6) \cdot 9$ .

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{(- f + 6) (f^{2} \cdot 9)}$

Paso 8.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{(- f + 6) (f^{2} \cdot 9)}$

Paso 8.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (f - 3) (- f + 6)}{f^{2} \cdot 9}$

Paso 9

Mueve $9$ a la izquierda de $f^{2}$ .

$\frac{- 1 (f - 3) (- f + 6)}{9 \cdot f^{2}}$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(f - 3) (- f + 6)}{9 \cdot f^{2}}$

Paso 11

Factoriza $- 1$ de $- f$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f) + 6)}{9 f^{2}}$

Paso 12

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f) - 1 (- 6))}{9 f^{2}}$

Paso 13

Factoriza $- 1$ de $- (f) - 1 (- 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f - 6))}{9 f^{2}}$

Paso 14

Reescribe $- (f - 6)$ como $- 1 (f - 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- 1 (f - 6))}{9 f^{2}}$

Paso 15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Paso 16

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Paso 17

Multiplica $\frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$ por $1$ .

$\frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Paso 18

Expande $(f - 3) (f - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{f (f - 6) - 3 (f - 6)}{9 f^{2}}$

Paso 18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{f \cdot f + f \cdot - 6 - 3 (f - 6)}{9 f^{2}}$

Paso 18.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{f \cdot f + f \cdot - 6 - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Paso 19

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 19.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.1.1

Multiplica $f$ por $f$ .

$\frac{f^{2} + f \cdot - 6 - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Paso 19.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $f$ .

$\frac{f^{2} - 6 \cdot f - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Paso 19.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 6$ .

$\frac{f^{2} - 6 f - 3 f + 18}{9 f^{2}}$

Paso 19.2

Resta $3 f$ de $- 6 f$ .

$\frac{f^{2} - 9 f + 18}{9 f^{2}}$

Paso 20

Divide la fracción $\frac{f^{2} - 9 f + 18}{9 f^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{f^{2} - 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 21

Divide la fracción $\frac{f^{2} - 9 f}{9 f^{2}}$ en dos fracciones.

$\frac{f^{2}}{9 f^{2}} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 22

Cancela el factor común de $f^{2}$ .

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Paso 22.1

Cancela el factor común.

$\frac{f^{2}}{9 f^{2}} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 22.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 23

Cancela el factor común de $- 9$ y $9$ .

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Paso 23.1

Factoriza $9$ de $- 9 f$ .

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 23.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 23.2.1

Factoriza $9$ de $9 f^{2}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 (f^{2})} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 23.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 23.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} + \frac{- f}{f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 24

Cancela el factor común de $f$ y $f^{2}$ .

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Paso 24.1

Factoriza $f$ de $- f$ .

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 24.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 24.2.1

Factoriza $f$ de $f^{2}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f \cdot f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 24.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f \cdot f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 24.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} + \frac{- 1}{f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Paso 26

Cancela el factor común de $18$ y $9$ .

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Paso 26.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 f^{2}}$

Paso 26.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 26.2.1

Factoriza $9$ de $9 f^{2}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 (f^{2})}$

Paso 26.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 f^{2}}$

Paso 26.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{2}{f^{2}}$