Preálgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}$

Paso 3

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{{\sqrt{7}}^{2} + \sqrt{21} - \sqrt{21} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Eleva $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Paso 5.2

Eleva $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1}}{4}$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{4}$

Paso 5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Paso 6

Reescribe ${(\sqrt{7} + \sqrt{3})}^{2}$ como $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})$ .

$\frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Paso 7

Expande $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} (\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.1.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{\sqrt{49} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.1.3

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2}} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{7 + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.1.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{7 + \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.1.6

Multiplica $7$ por $3$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.1.7

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.1.8

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Paso 8.1.9

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

Paso 8.1.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{9}}{4}$

Paso 8.1.11

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

Paso 8.1.12

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{7 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + 3}{4}$

Paso 8.2

Suma $7$ y $3$ .

$\frac{10 + \sqrt{21} + \sqrt{21}}{4}$

Paso 8.3

Suma $\sqrt{21}$ y $\sqrt{21}$ .

$\frac{10 + 2 \sqrt{21}}{4}$

Paso 9

Cancela el factor común de $10 + 2 \sqrt{21}$ y $4$ .

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Paso 9.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5 + 2 \sqrt{21}}{4}$

Paso 9.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{21}$ .

$\frac{2 \cdot 5 + 2 (\sqrt{21})}{4}$

Paso 9.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 5 + 2 (\sqrt{21})$ .

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{4}$

Paso 9.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{2 (2)}$

Paso 9.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{2 \cdot 2}$

Paso 9.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

Paso 10

Divide la fracción $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$ en dos fracciones.

$\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}$

Forma decimal:

$4.79128784 \dots$