Preálgebra Ejemplos

$(\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}) \div (\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2})$

Paso 1

Reescribe la división como una fracción.

$\frac{\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}}{\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2}}$

Paso 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(2 - x) (x - 2) x$ .

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}}{\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2}}$ por $\frac{(2 - x) (x - 2) x}{(2 - x) (x - 2) x}$ .

$\frac{(2 - x) (x - 2) x}{(2 - x) (x - 2) x} \cdot \frac{\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}}{\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2}}$

Paso 2.2

Combinar.

$\frac{(2 - x) (x - 2) x (\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2})}{(2 - x) (x - 2) x (\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2})}$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{2 - x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2 - x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2 - x$ de $(2 - x) (x - 2) x$ .

$\frac{(2 - x) ((x - 2) x) \frac{4}{2 - x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(2 - x) ((x - 2) x) \frac{4}{2 - x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x - 2$ de $(2 - x) (x - 2) x$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $x$ de $(2 - x) (x - 2) x$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{x ((2 - x) (x - 2)) \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{x ((2 - x) (x - 2)) \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(2 - x) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.4

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(- 1 (- 2) - x) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(- 1 (- 2) - (x)) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 (- 2 + x) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.7

Reordena los términos.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 (x - 2) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.8

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.9

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1} \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 {(x - 2)}^{2} \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.12

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.13

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 4.13.1

Factoriza $x - 2$ de $(2 - x) (x - 2) x$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{2}{x - 2}}$

Paso 4.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Factoriza $x$ de $(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $(x - 2) x \cdot 4$ .

$\frac{x ((x - 2) \cdot 4) + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5.1.2

Factoriza $x$ de $(2 - x) x \cdot 5$ .

$\frac{x ((x - 2) \cdot 4) + x ((2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5.1.3

Factoriza $x$ de $x ((x - 2) \cdot 4) + x ((2 - x) \cdot 5)$ .

$\frac{x ((x - 2) \cdot 4 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x (4 \cdot x - 2 \cdot 4 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5.4

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{x (4 \cdot x - 8 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (4 x - 8 + 2 \cdot 5 - x \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5.6

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{x (4 x - 8 + 10 - x \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5.7

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{x (4 x - 8 + 10 - 5 x)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5.8

Resta $5 x$ de $4 x$ .

$\frac{x (- x - 8 + 10)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 5.9

Suma $- 8$ y $10$ .

$\frac{x (- x + 2)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 6

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $- 4 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 {(x - 2)}^{2}) + (2 - x) x \cdot 2}$

Paso 6.1.2

Factoriza $2$ de $(2 - x) x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 {(x - 2)}^{2}) + 2 \cdot ((2 - x) x)}$

Paso 6.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- 2 {(x - 2)}^{2}) + 2 \cdot ((2 - x) x)$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x)}$

Paso 6.2

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 ((x - 2) (x - 2)) + (2 - x) x)}$

Paso 6.3

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + (2 - x) x)}$

Paso 6.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + (2 - x) x)}$

Paso 6.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + (2 - x) x)}$

Paso 6.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + (2 - x) x)}$

Paso 6.4.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + (2 - x) x)}$

Paso 6.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + (2 - x) x)}$

Paso 6.4.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} - 4 x + 4) + (2 - x) x)}$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 4 + (2 - x) x)}$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 4 + (2 - x) x)}$

Paso 6.6.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + (2 - x) x)}$

Paso 6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x - x \cdot x)}$

Paso 6.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.8.1

Mueve $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x - (x \cdot x))}$

Paso 6.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x - x^{2})}$

Paso 6.9

Resta $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x)}$

Paso 6.10

Suma $8 x$ y $2 x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 10 x - 8)}$

Paso 6.11

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.11.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 3 \cdot - 8 = 24$ y cuya suma es $b = 10$ .

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Paso 6.11.1.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 10 (x) - 8)}$

Paso 6.11.1.2

Reescribe $10$ como $4$ más $6$

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + (4 + 6) x - 8)}$

Paso 6.11.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 4 x + 6 x - 8)}$

Paso 6.11.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.11.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x (- x + 2)}{2 ((- 3 x^{2} + 4 x) + 6 x - 8)}$

Paso 6.11.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (x (- 3 x + 4) - 2 (- 3 x + 4))}$

Paso 6.11.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 3 x + 4$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 ((- 3 x + 4) (x - 2))}$

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $- x + 2$ y $x - 2$ .

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Paso 7.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Paso 7.4

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Paso 7.5

Cancela el factor común.

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Paso 7.6

Reescribe la expresión.

$\frac{x \cdot (- 1)}{2 (- 3 x + 4)}$

Paso 8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 (- 3 x + 4)}$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{2 (- 3 x + 4)}$

Paso 10

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$- \frac{x}{2 (- (3 x) + 4)}$

Paso 11

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$- \frac{x}{2 (- (3 x) - 1 (- 4))}$

Paso 12

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 4)$ .

$- \frac{x}{2 (- (3 x - 4))}$

Paso 13

Reescribe $- (3 x - 4)$ como $- 1 (3 x - 4)$ .

$- \frac{x}{2 (- 1 (3 x - 4))}$

Paso 14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{x}{2 (3 x - 4)}$

Paso 15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{x}{2 (3 x - 4)}$

Paso 16

Multiplica $\frac{x}{2 (3 x - 4)}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 (3 x - 4)}$