Preálgebra Ejemplos

$- \frac{1}{4} \cdot (x (4 - 4 x))$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (x (4 - 4 x))$

Paso 1.2

Simplifica $- \frac{1}{4} \cdot (x (4 - 4 x))$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (x \cdot 4 + x (- 4 x))$

Paso 1.2.1.2

Reordena.

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Paso 1.2.1.2.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot x + x (- 4 x))$

Paso 1.2.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot x - 4 x \cdot x)$

Paso 1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1

Mueve $x$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 x - 4 (x \cdot x))$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot (4 x - 4 x^{2})$

Paso 1.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{4} (4 x) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$y = \frac{- 1}{4} (4 x) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Paso 1.2.3.2.2

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$y = \frac{- 1}{4} (4 (x)) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Paso 1.2.3.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 1}{4} (4 x) - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Paso 1.2.3.2.4

Reescribe la expresión.

$y = - 1 x - \frac{1}{4} (- 4 x^{2})$

Paso 1.2.3.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{4}$ al numerador.

$y = - 1 x + \frac{- 1}{4} (- 4 x^{2})$

Paso 1.2.3.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = - 1 x + \frac{- 1}{4} (4 (- x^{2}))$

Paso 1.2.3.3.3

Cancela el factor común.

$y = - 1 x + \frac{- 1}{4} (4 (- x^{2}))$

Paso 1.2.3.3.4

Reescribe la expresión.

$y = - 1 x - 1 (- x^{2})$

Paso 1.2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - 1 x + 1 x^{2}$

Paso 1.2.3.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = - 1 x + x^{2}$

Paso 1.2.3.4.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x + x^{2}$

Paso 1.2.3.4.4

Reordena $- x$ y $x^{2}$ .

$y = x^{2} - x$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $x^{2} - x$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{1}{2}$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Resta $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{1}{4}$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Foco: $(\frac{1}{2}, 0)$

Eje de simetría: $x = \frac{1}{2}$

Directriz: $y = - \frac{1}{2}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Foco: $(\frac{1}{2}, 0)$

Eje de simetría: $x = \frac{1}{2}$

Directriz: $y = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 - (- 1)$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 1$

Paso 3.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 1) = 2$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $2$ .

$y = 2$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - (- 2)$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 4 - (- 2)$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 4 + 2$

Paso 3.5.2

Suma $4$ y $2$ .

$f (- 2) = 6$

Paso 3.5.3

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $6$ .

$y = 6$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} - (1)$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - (1)$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 1$

Paso 3.8.2

Resta $1$ de $1$ .

$f (1) = 0$

Paso 3.8.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{2} - (2)$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 4 - (2)$

Paso 3.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = 4 - 2$

Paso 3.11.2

Resta $2$ de $4$ .

$f (2) = 2$

Paso 3.11.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $2$ .

$y = 2$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 6 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Foco: $(\frac{1}{2}, 0)$

Eje de simetría: $x = \frac{1}{2}$

Directriz: $y = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 6 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{array}$

Paso 5