Preálgebra Ejemplos

$\frac{3 m^{2} (m + 4)}{(m + 3) (m - 5)}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ no está definida.

$x = - 3, x = 5$

Paso 2

Como $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la izquierda y $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la derecha, entonces $x = - 3$ es una asíntota vertical.

$x = - 3$

Paso 3

Como $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $5$ desde la izquierda y $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $5$ desde la derecha, entonces $x = 5$ es una asíntota vertical.

$x = 5$

Paso 4

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 3, 5$

Paso 5

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 6

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 7

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 8

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 8.1

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1.1

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Paso 8.1.1.1

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (x) + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Paso 8.1.1.2

Factoriza $3 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Paso 8.1.1.3

Factoriza $3 x^{2}$ de $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)$ .

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Paso 8.1.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 8.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 8.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x - 5) (x + 3)}$

Paso 8.2

Expande $3 x^{2} (x + 4)$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{(x - 5) (x + 3)}$

Paso 8.2.2

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} x + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Paso 8.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Paso 8.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Paso 8.2.5

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Paso 8.2.6

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$

Paso 8.3

Expande $(x - 5) (x + 3)$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x (x + 3) - 5 (x + 3)}$

Paso 8.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 (x + 3)}$

Paso 8.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 x - 5 \cdot 3}$

Paso 8.3.4

Reordena $x$ y $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Paso 8.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Paso 8.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Paso 8.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{1 + 1} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Paso 8.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Paso 8.3.9

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15}$

Paso 8.3.10

Resta $5 x$ de $3 x$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Paso 8.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 8.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 8.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Paso 8.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{3} - 6 x^{2} - 45 x$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Paso 8.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

Paso 8.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Paso 8.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $18 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Paso 8.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Paso 8.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $18 x^{2} - 36 x - 270$ .

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Paso 8.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

$81 x$

$270$

Paso 8.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$3 x + 18 + \frac{81 x + 270}{x^{2} - 2 x - 15}$

Paso 8.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 3 x + 18$

Paso 9

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 3, 5$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 3 x + 18$

Paso 10