Preálgebra Ejemplos

$2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $y^{2} + 4 y$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.1.3.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.2.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Paso 1.1.4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Paso 1.1.4.2.1.1.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Paso 1.2

Sustituye ${(y + 2)}^{2} - 4$ por $y^{2} + 4 y$ en la ecuación $2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$ .

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 144$

Paso 1.3

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 144 + 4$

Paso 1.4

Suma $144$ y $4$ .

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 148$

Paso 1.5

Divide cada término por $148$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{2 x^{2}}{148} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = \frac{148}{148}$

Paso 1.6

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{74} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 2 \sqrt{37}$

$b = \sqrt{74}$

$k = - 2$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, - 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{37}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{37}}^{2}$ como $37$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{37}$ como $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{4 \cdot 37 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Paso 5.3.3

Multiplica $4$ por $37$ .

$\sqrt{148 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

Paso 5.3.4

Reescribe ${\sqrt{74}}^{2}$ como $74$ .

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Paso 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{74}$ como $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{148 - 74^{1}}$

Paso 5.3.4.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{148 - 1 \cdot 74}$

Paso 5.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $74$ .

$\sqrt{148 - 74}$

Paso 5.3.5.2

Resta $74$ de $148$ .

$\sqrt{74}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

Paso 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, - 2 - (2 \sqrt{37}))$

Paso 6.5

Simplifica.

$(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

Paso 6.6

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, - 2 + \sqrt{74})$

Paso 7.3

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, - 2 - (\sqrt{74}))$

Paso 7.5

Simplifica.

$(0, - 2 - \sqrt{74})$

Paso 7.6

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{37}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.3

Reescribe ${\sqrt{37}}^{2}$ como $37$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{37}$ como $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $4$ por $37$ .

$\frac{\sqrt{148 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{74}}^{2}$ como $74$ .

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Paso 8.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{74}$ como $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{148 - 74^{1}}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{148 - 1 \cdot 74}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $74$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.1.7

Resta $74$ de $148$ .

$\frac{\sqrt{74}}{2 \sqrt{37}}$

Paso 8.3.2

Combina $\sqrt{74}$ y $\sqrt{37}$ en un solo radical.

$\frac{\sqrt{\frac{74}{37}}}{2}$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $74$ y $37$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $37$ de $74$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37}}}{2}$

Paso 8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $37$ de $37$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 (1)}}}{2}$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 \cdot 1}}}{2}$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{\frac{2}{1}}}{2}$

Paso 8.3.3.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 10