Preálgebra Ejemplos

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{7}$

$k = 10$

$h = 9$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(9, 10)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{9 + 7^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{9 + 7}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Suma $9$ y $7$ .

$\sqrt{16}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Paso 5.3.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(12, 10)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(6, 10)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(12, 10), (6, 10)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(13, 10)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(5, 10)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(13, 10), (5, 10)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}}{3}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{7}}^{2}}}{3}$

Paso 8.3.2

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 8.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Paso 8.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Paso 8.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{1}}}{3}$

Paso 8.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{9 + 7}}{3}$

Paso 8.3.3

Suma $9$ y $7$ .

$\frac{\sqrt{16}}{3}$

Paso 8.3.4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{3}$

Paso 8.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4}{3}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{4}$

Paso 9.3

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 9.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Paso 9.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Paso 9.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Paso 9.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7^{1}}{4}$

Paso 9.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{7}{4}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Paso 11.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

Paso 11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} x + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Paso 11.2.3

Combina $\frac{\sqrt{7}}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Paso 11.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.4.1

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

Paso 11.2.4.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

Paso 11.2.4.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

Paso 11.2.5

Mueve $- 3$ a la izquierda de $\sqrt{7}$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Paso 12.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

Paso 12.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} x - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Paso 12.2.3

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{7}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Paso 12.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{7}}{3}$ al numerador.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Paso 12.2.4.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

Paso 12.2.4.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

Paso 12.2.4.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

Paso 12.2.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10, y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(9, 10)$

Vértices: $(12, 10), (6, 10)$

Focos: $(13, 10), (5, 10)$

Excentricidad: $\frac{4}{3}$

Parámetro focal: $\frac{7}{4}$

Asíntotas: $y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$ , $y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Paso 15