Preálgebra Ejemplos

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 3 \sqrt{3}$

$b = 13$

$k = - 2$

$h = 1$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(1, - 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(13)}^{2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{9 \cdot 3^{1} + {(13)}^{2}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{9 \cdot 3 + {(13)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$\sqrt{27 + {(13)}^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{27 + 169}$

Paso 5.3.3.3

Suma $27$ y $169$ .

$\sqrt{196}$

Paso 5.3.3.4

Reescribe $196$ como $14^{2}$ .

$\sqrt{14^{2}}$

Paso 5.3.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$14$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(15, - 2)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 13, - 2)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(15, - 2), (- 13, - 2)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{1} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.3.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{27 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.5

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{27 + 169}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.6

Suma $27$ y $169$ .

$\frac{\sqrt{196}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.7

Reescribe $196$ como $14^{2}$ .

$\frac{\sqrt{14^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{14}{3 \sqrt{3}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.3.2

Mueve $\sqrt{3}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Paso 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Paso 8.3.3.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Paso 8.3.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.3.3.7

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.3.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Paso 8.3.3.7.5

Evalúa el exponente.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Paso 8.3.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{13^{2}}{14}$

Paso 9.3

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$\frac{169}{14}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Paso 11.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Paso 11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} x + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Paso 11.2.3

Combina $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ y $x$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Paso 11.2.4

Multiplica $\frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

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Paso 11.2.4.1

Combina $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ y $- 1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3} \cdot - 1}{9} - 2$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $13$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{- 13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Paso 11.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Paso 12.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Paso 12.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} x - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Paso 12.2.3

Combina $x$ y $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Paso 12.2.4

Multiplica $- \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

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Paso 12.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + 1 \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Paso 12.2.4.2

Multiplica $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ por $1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Paso 12.2.5

Mueve $13$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2, y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(1, - 2)$

Vértices: $(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Focos: $(15, - 2), (- 13, - 2)$

Excentricidad: $\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Parámetro focal: $\frac{169}{14}$

Asíntotas: $y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$ , $y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Paso 15