Preálgebra Ejemplos

$\frac{x^{2}}{{(\frac{36}{5})}^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1296}{25}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = \frac{36}{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $36$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16}$

Paso 5.3.5

Para escribir $16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}}$

Paso 5.3.6

Combina $16$ y $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}}$

Paso 5.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}}$

Paso 5.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $16$ por $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}}$

Paso 5.3.8.2

Suma $1296$ y $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$

Paso 5.3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ como $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$

Paso 5.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.10.1

Reescribe $1696$ como $4^{2} \cdot 106$ .

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Paso 5.3.10.1.1

Factoriza $16$ de $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}}$

Paso 5.3.10.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}}$

Paso 5.3.10.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}}$

Paso 5.3.11

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.11.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}}$

Paso 5.3.11.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{36}{5}, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{36}{5}, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\frac{36}{5}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Paso 8.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Paso 8.3.3

Eleva $36$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Paso 8.3.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Paso 8.3.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16} \frac{5}{36}$

Paso 8.3.6

Para escribir $16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}} \frac{5}{36}$

Paso 8.3.7

Combina $16$ y $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Paso 8.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Paso 8.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.9.1

Multiplica $16$ por $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}} \frac{5}{36}$

Paso 8.3.9.2

Suma $1296$ y $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}} \frac{5}{36}$

Paso 8.3.10

Reescribe $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ como $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Paso 8.3.11

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.11.1

Reescribe $1696$ como $4^{2} \cdot 106$ .

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Paso 8.3.11.1.1

Factoriza $16$ de $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Paso 8.3.11.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Paso 8.3.11.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Paso 8.3.12

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.12.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}} \cdot \frac{5}{36}$

Paso 8.3.12.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Paso 8.3.13

Simplifica los términos.

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Paso 8.3.13.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.3.13.1.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Paso 8.3.13.1.2

Factoriza $4$ de $36$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{4 (9)}$

Paso 8.3.13.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 9}$

Paso 8.3.13.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Paso 8.3.13.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.3.13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Paso 8.3.13.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{106} \frac{1}{9}$

Paso 8.3.13.3

Combina $\sqrt{106}$ y $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\sqrt{106}}{9}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{\frac{4^{2}}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{106})}}{5}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{4}{\sqrt{106}}}{5}$

Paso 9.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.3

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{106}}$ por $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}} \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.4.1

Multiplica $\frac{4}{\sqrt{106}}$ por $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{106} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4.2

Eleva $\sqrt{106}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4.3

Eleva $\sqrt{106}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} {\sqrt{106}}^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4.6

Reescribe ${\sqrt{106}}^{2}$ como $106$ .

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Paso 9.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{106}$ como $106^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{(106^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.5

Cancela el factor común de $4$ y $106$ .

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Paso 9.3.5.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $106$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 (53)} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 \cdot 53} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 9.3.6

Multiplica $\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 9.3.6.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{106}}{53}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{53 \cdot 5}$

Paso 9.3.6.2

Multiplica $53$ por $5$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{5}{9} x + 0$

Paso 11

Simplifica $\frac{5}{9} x + 0$ .

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Paso 11.1

Suma $\frac{5}{9} x$ y $0$ .

$y = \frac{5}{9} x$

Paso 11.2

Combina $\frac{5}{9}$ y $x$ .

$y = \frac{5 x}{9}$

Paso 12

Simplifica $- \frac{5}{9} x + 0$ .

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Paso 12.1

Suma $- \frac{5}{9} x$ y $0$ .

$y = - \frac{5}{9} x$

Paso 12.2

Combina $x$ y $\frac{5}{9}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{9}$

Paso 12.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{9}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{5 x}{9}, y = - \frac{5 x}{9}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Focos: $(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{106}}{9}$

Parámetro focal: $\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Asíntotas: $y = \frac{5 x}{9}$ , $y = - \frac{5 x}{9}$

Paso 15