Preálgebra Ejemplos

$\frac{\frac{18 n^{2} + 81 n}{27 n^{2} - 63 n}}{\frac{12 n + 54}{15^{3} - 35 n^{2}}}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$ no está definida.

$x = \frac{7}{3}$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.1

Factoriza $5$ de $3375 - 35 x^{2}$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $5$ de $3375$ .

$\frac{5 (675) - 35 x^{2}}{18 x - 42}$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $5$ de $- 35 x^{2}$ .

$\frac{5 (675) + 5 (- 7 x^{2})}{18 x - 42}$

Paso 5.1.1.3

Factoriza $5$ de $5 (675) + 5 (- 7 x^{2})$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{18 x - 42}$

Paso 5.1.2

Factoriza $6$ de $18 x - 42$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $6$ de $18 x$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x) - 42}$

Paso 5.1.2.2

Factoriza $6$ de $- 42$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x) + 6 (- 7)}$

Paso 5.1.2.3

Factoriza $6$ de $6 (3 x) + 6 (- 7)$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Paso 5.2

Expande $5 (675 - 7 x^{2})$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 675 + 5 (- 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Paso 5.2.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{5 \cdot 675 + 5 \cdot (- 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Paso 5.2.3

Multiplica $5$ por $675$ .

$\frac{3375 + 5 \cdot (- 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Paso 5.2.4

Multiplica $5$ por $- 7$ .

$\frac{3375 - 35 x^{2}}{6 (3 x - 7)}$

Paso 5.2.5

Reordena $3375$ y $- 35 x^{2}$ .

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{6 (3 x - 7)}$

Paso 5.3

Expande $6 (3 x - 7)$ .

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{6 (3 x) + 6 \cdot - 7}$

Paso 5.3.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{6 \cdot (3 x) + 6 \cdot - 7}$

Paso 5.3.3

Multiplica $6$ por $3$ .

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{18 x + 6 \cdot - 7}$

Paso 5.3.4

Multiplica $6$ por $- 7$ .

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{18 x - 42}$

Paso 5.4

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$18 x$

$42$

$35 x^{2}$

$0 x$

$3375$

Paso 5.5

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 35 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $18 x$ .

				-	$\frac{35 x}{18}$
	$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$

Paso 5.6

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			-	$35 x^{2}$	+	$\frac{245 x}{3}$

Paso 5.7

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 35 x^{2} + \frac{245 x}{3}$ .

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$

Paso 5.8

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$

Paso 5.9

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$

Paso 5.10

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- \frac{245 x}{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $18 x$ .

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$

Paso 5.11

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$\frac{1715}{9}$

Paso 5.12

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- \frac{245 x}{3} + \frac{1715}{9}$ .

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$
					+	$\frac{245 x}{3}$	-	$\frac{1715}{9}$

Paso 5.13

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$
					+	$\frac{245 x}{3}$	-	$\frac{1715}{9}$
							+	$\frac{28660}{9}$

Paso 5.14

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$- \frac{35 x}{18} - \frac{245}{54} + \frac{28660}{9 (18 x - 42)}$

Paso 5.15

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = - \frac{35 x}{18} - \frac{245}{54}$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = \frac{7}{3}$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = - \frac{35 x}{18} - \frac{245}{54}$

Paso 7