Preálgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{3} - 9 x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ no está definida.

$x = - 3, x = 0, x = 3$

Paso 2

Como $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la izquierda y $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 3$ desde la derecha, entonces $x = - 3$ es una asíntota vertical.

$x = - 3$

Paso 3

Como $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 4

Como $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $3$ desde la izquierda y $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x (x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $3$ desde la derecha, entonces $x = 3$ es una asíntota vertical.

$x = 3$

Paso 5

Enumera todas las asíntotas verticales:

$x = - 3, 0, 3$

Paso 6

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 7

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 3$

Paso 8

Como $n < m$ , el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

$y = 0$

Paso 9

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 10

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 3, 0, 3$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 11