Preálgebra Ejemplos

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{24} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 5$

$b = 2 \sqrt{6}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2 \sqrt{6})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 - {(2 \sqrt{6})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{6}$ .

$\sqrt{25 - (2^{2} {\sqrt{6}}^{2})}$

Paso 5.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{25 - (4 {\sqrt{6}}^{2})}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 - (4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{1})}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{25 - (4 \cdot 6)}$

Paso 5.3.3

Multiplica $- (4 \cdot 6)$ .

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 24}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$\sqrt{25 - 24}$

Paso 5.3.4

Resta $24$ de $25$ .

$\sqrt{1}$

Paso 5.3.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$1$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 5, 0)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(5, 0)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (5), 0)$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 5, 0)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 1, 0)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(1, 0)$

Paso 7.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (1), 0)$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- 1, 0)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(1, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(1, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(2 \sqrt{6})}^{2}}}{5}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - {(2 \sqrt{6})}^{2}}}{5}$

Paso 8.3.2

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{25 - (2^{2} {\sqrt{6}}^{2})}}{5}$

Paso 8.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - (4 {\sqrt{6}}^{2})}}{5}$

Paso 8.3.4

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 8.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 - (4 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{5}$

Paso 8.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{5}$

Paso 8.3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}}{5}$

Paso 8.3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}}{5}$

Paso 8.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{25 - (4 \cdot 6^{1})}}{5}$

Paso 8.3.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{25 - (4 \cdot 6)}}{5}$

Paso 8.3.5

Multiplica $- (4 \cdot 6)$ .

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Paso 8.3.5.1

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 24}}{5}$

Paso 8.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$\frac{\sqrt{25 - 24}}{5}$

Paso 8.3.6

Resta $24$ de $25$ .

$\frac{\sqrt{1}}{5}$

Paso 8.3.7

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{5}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(1, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Excentricidad: $\frac{1}{5}$

Paso 10