Preálgebra Ejemplos

$\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 3$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 3$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 3$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Paso 1.1.1.3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = 3 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = 3 - \frac{4}{2}$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Divide $4$ por $2$ .

$e = 3 - 1 \cdot 2$

Paso 1.1.1.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = 3 - 2$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta $2$ de $3$ .

$e = 1$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 1$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} + 1$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = 1$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 1.5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, \frac{3}{2})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 2$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{1}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, 1)$

Foco: $(- 2, \frac{3}{2})$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = \frac{1}{2}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, 1)$

Foco: $(- 2, \frac{3}{2})$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = \frac{1}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{2} + 2 (- 4) + 3$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = \frac{16}{2} + 2 (- 4) + 3$

Paso 2.2.1.2

Divide $16$ por $2$ .

$f (- 4) = 8 + 2 (- 4) + 3$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 8 - 8 + 3$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$f (- 4) = 0 + 3$

Paso 2.2.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$f (- 4) = 3$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $3$ .

$y = 3$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} + 2 (- 3) + 3$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + 2 (- 3) + 3$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} - 6 + 3$

Paso 2.5.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.5.2.1

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} + 3$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Paso 2.5.2.3

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + 3$

Paso 2.5.2.4

Escribe $3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

Paso 2.5.2.5

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.5.2.6

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 12 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 12 + 6}{2}$

Paso 2.5.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.5.1

Resta $12$ de $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 3 + 6}{2}$

Paso 2.5.5.2

Suma $- 3$ y $6$ .

$f (- 3) = \frac{3}{2}$

Paso 2.5.6

La respuesta final es $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + 2 (0) + 3$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{2} + 2 (0) + 3$

Paso 2.8.1.2

Divide $0$ por $2$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) + 3$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.8.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Paso 2.8.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$f (0) = 3$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 0$ es $3$ .

$y = 3$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2 (- 1) + 3$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + 2 (- 1) + 3$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} - 2 + 3$

Paso 2.11.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.11.2.1

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} + 3$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Paso 2.11.2.3

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 3$

Paso 2.11.2.4

Escribe $3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

Paso 2.11.2.5

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.11.2.6

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{1 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.4.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.11.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 6}{2}$

Paso 2.11.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.5.1

Resta $4$ de $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 6}{2}$

Paso 2.11.5.2

Suma $- 3$ y $6$ .

$f (- 1) = \frac{3}{2}$

Paso 2.11.6

La respuesta final es $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{3}{2} \\ - 2 & 1 \\ - 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 3 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, 1)$

Foco: $(- 2, \frac{3}{2})$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{3}{2} \\ - 2 & 1 \\ - 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 3 \end{array}$

Paso 4