Preálgebra Ejemplos

$| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$

Paso 1

Escribe $| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$ como una función definida por partes.

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Paso 1.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$\frac{2 x - 1}{x} \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.5

Consolida las soluciones.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Paso 1.2.6

Obtén el dominio de $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Establece el denominador en $\frac{2 x - 1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 1.2.6.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 1.2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Paso 1.2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 1.2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} \geq 0$

Paso 1.2.8.1.3

$2.5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.25$

Paso 1.2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0.25$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} \geq 0$

Paso 1.2.8.2.3

$- 2$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 1.2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (3) - 1}{3} \geq 0$

Paso 1.2.8.3.3

$1.\overline{6}$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadero

Paso 1.2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $x \geq \frac{1}{2}$

Paso 1.3

En la parte donde $\frac{2 x - 1}{x}$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$\frac{2 x - 1}{x} < 2$

Paso 1.4

Obtén el dominio de $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ y obtén la intersección con $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.4.1

Obtén el dominio de $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Establece el denominador en $\frac{2 x - 1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 1.4.1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 1.4.2

Obtén la intersección de $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ y $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$

Paso 1.5

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$\frac{2 x - 1}{x} < 0$

Paso 1.6

Resuelve la desigualdad.

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Paso 1.6.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Paso 1.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 1.6.3

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.6.3.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.6.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.6.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.6.4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.6.5

Consolida las soluciones.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Paso 1.6.6

Obtén el dominio de $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

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Paso 1.6.6.1

Establece el denominador en $\frac{2 x - 1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 1.6.6.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 1.6.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Paso 1.6.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.6.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 1.6.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 0$

Paso 1.6.8.1.3

$2.5$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.6.8.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.25$

Paso 1.6.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0.25$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} < 0$

Paso 1.6.8.2.3

$- 2$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.6.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 1.6.8.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (3) - 1}{3} < 0$

Paso 1.6.8.3.3

$1.\overline{6}$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.6.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Paso 1.6.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Paso 1.7

En la parte donde $\frac{2 x - 1}{x}$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} < 2$

Paso 1.8

Obtén el dominio de $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ y obtén la intersección con $0 < x < \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.8.1

Obtén el dominio de $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1.1

Establece el denominador en $\frac{2 x - 1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 1.8.1.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 1.8.2

Obtén la intersección de $0 < x < \frac{1}{2}$ y $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$0 < x < \frac{1}{2}$

Paso 1.9

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} \frac{2 x - 1}{x} < 2 & x < 0 or x \geq \frac{1}{2} \\ - \frac{2 x - 1}{x} < 2 & 0 < x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Paso 2

Resuelve $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ cuando $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ en $x$ .

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Paso 2.1.1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Paso 2.1.2

Simplifica $\frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

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Paso 2.1.2.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Paso 2.1.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Paso 2.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x - 1 - 2 x}{x} < 0$

Paso 2.1.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.4.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 1}{x} < 0$

Paso 2.1.2.4.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{x} < 0$

Paso 2.1.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x} < 0$

Paso 2.1.3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

Paso 2.1.4

Obtén el dominio de $- \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1.4.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.1.4.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 2.1.5

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > 0$

Paso 2.2

Obtén la intersección de $x > 0$ y $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Paso 3

Resuelve $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ cuando $0 < x < \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.1

Resuelve $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Paso 3.1.2

Simplifica $- \frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

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Paso 3.1.2.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Paso 3.1.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Paso 3.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- (2 x - 1) - 2 x}{x} < 0$

Paso 3.1.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- (2 x) - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Paso 3.1.2.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Paso 3.1.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x + 1 - 2 x}{x} < 0$

Paso 3.1.2.4.4

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 1}{x} < 0$

Paso 3.1.2.5

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 1}{x} < 0$

Paso 3.1.2.6

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 1)}{x} < 0$

Paso 3.1.2.7

Factoriza $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x - 1)}{x} < 0$

Paso 3.1.2.8

Reescribe $- (4 x - 1)$ como $- 1 (4 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 1)}{x} < 0$

Paso 3.1.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x - 1}{x} < 0$

Paso 3.1.3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Paso 3.1.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 3.1.5

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.1.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 3.1.6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = \frac{1}{4}$

Paso 3.1.7

Consolida las soluciones.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Paso 3.1.8

Obtén el dominio de $- \frac{4 x - 1}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.8.1

Establece el denominador en $\frac{4 x - 1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 3.1.8.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 3.1.9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Paso 3.1.10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.1.10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.1.10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 3.1.10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$- \frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 2$

Paso 3.1.10.1.3

$- 2.5$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.1.10.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.1.10.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.12$

Paso 3.1.10.2.2

Reemplaza $x$ con $0.12$ en la desigualdad original.

$- \frac{2 (0.12) - 1}{0.12} < 2$

Paso 3.1.10.2.3

$6.\overline{3}$ del lado izquierdo no es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.1.10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 3.1.10.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$- \frac{2 (3) - 1}{3} < 2$

Paso 3.1.10.3.3

$- 1.\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.1.10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < \frac{1}{4}$ Falso

$x > \frac{1}{4}$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < \frac{1}{4}$ Falso

$x > \frac{1}{4}$ Verdadero

Paso 3.1.11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$ o $x > \frac{1}{4}$

Paso 3.2

Obtén la intersección de $x < 0 or x > \frac{1}{4}$ y $0 < x < \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

Paso 4

Obtén la unión de las soluciones.

$x > \frac{1}{4}$

Paso 5

Obtén el dominio de $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{2 x - 1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 5.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x > \frac{1}{4}$

Paso 7