Preálgebra Ejemplos

$\frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x - 5) - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Paso 1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x - 5) - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Paso 1.1.2

Simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Paso 1.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Paso 1.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 5$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Paso 1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 4 - 5$

Paso 1.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) - 5$

Paso 1.1.4.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 5$

Paso 1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 1 \cdot 2 - 5$

Paso 1.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 2 - 5$

Paso 1.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 5$

Paso 1.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 5$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5 - 2 \cdot 2}{2} - 5$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5 - 4}{2} - 5$

Paso 1.5.2

Resta $4$ de $- 5$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9}{2} - 5$

Paso 1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} - 5$

Paso 1.7

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.8

Combina $- 5$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}$

Paso 1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9 - 5 \cdot 2}{2}$

Paso 1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.10.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9 - 10}{2}$

Paso 1.10.2

Resta $10$ de $- 9$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 19}{2}$

Paso 1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{19}{2}$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{19}{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = - \frac{19}{2}$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Divide $4$ por $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - 1 \cdot 2$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - 2$

Paso 2.1.1.4.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 19 - 2 \cdot 2}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.4.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$e = \frac{- 19 - 4}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.5.2

Resta $4$ de $- 19$ .

$e = \frac{- 23}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{23}{2}$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = - \frac{23}{2}$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, - \frac{23}{2})$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, - 11)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 2$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 12$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, - \frac{23}{2})$

Foco: $(- 2, - 11)$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = - 12$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, - \frac{23}{2})$

Foco: $(- 2, - 11)$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = - 12$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} + 2 (- 3) - \frac{19}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Combina fracciones.

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Paso 3.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{{(- 3)}^{2} - 19}{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{9 - 19}{2}$

Paso 3.2.1.2.2

Resta $19$ de $9$ .

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{- 10}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 6 + \frac{- 10}{2}$

Paso 3.2.2.2

Divide $- 10$ por $2$ .

$f (- 3) = - 6 - 5$

Paso 3.2.3

Resta $5$ de $- 6$ .

$f (- 3) = - 11$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $- 11$ .

$- 11$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $- 11$ .

$y = - 11$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{2} + 2 (- 4) - \frac{19}{2}$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Combina fracciones.

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Paso 3.5.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{{(- 4)}^{2} - 19}{2}$

Paso 3.5.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1.2.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{16 - 19}{2}$

Paso 3.5.1.2.2

Resta $19$ de $16$ .

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (- 4) = - 8 + \frac{- 3}{2}$

Paso 3.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 4) = - 8 - \frac{3}{2}$

Paso 3.5.3

Para escribir $- 8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 4) = - 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 3.5.4

Combina $- 8$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (- 4) = \frac{- 8 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 3.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 4) = \frac{- 8 \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 3.5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.6.1

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$f (- 4) = \frac{- 16 - 3}{2}$

Paso 3.5.6.2

Resta $3$ de $- 16$ .

$f (- 4) = \frac{- 19}{2}$

Paso 3.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 4) = - \frac{19}{2}$

Paso 3.5.8

La respuesta final es $- \frac{19}{2}$ .

$- \frac{19}{2}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $- \frac{19}{2}$ .

$y = - \frac{19}{2}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2 (- 1) - \frac{19}{2}$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Combina fracciones.

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Paso 3.8.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{{(- 1)}^{2} - 19}{2}$

Paso 3.8.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{1 - 19}{2}$

Paso 3.8.1.2.2

Resta $19$ de $1$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{- 18}{2}$

Paso 3.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + \frac{- 18}{2}$

Paso 3.8.2.2

Divide $- 18$ por $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 9$

Paso 3.8.3

Resta $9$ de $- 2$ .

$f (- 1) = - 11$

Paso 3.8.4

La respuesta final es $- 11$ .

$- 11$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 11$ .

$y = - 11$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} + 2 (1) - \frac{19}{2}$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Combina fracciones.

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Paso 3.11.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = 2 (1) + \frac{{(1)}^{2} - 19}{2}$

Paso 3.11.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.1.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 2 (1) + \frac{1 - 19}{2}$

Paso 3.11.1.2.2

Resta $19$ de $1$ .

$f (1) = 2 (1) + \frac{- 18}{2}$

Paso 3.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 + \frac{- 18}{2}$

Paso 3.11.2.2

Divide $- 18$ por $2$ .

$f (1) = 2 - 9$

Paso 3.11.3

Resta $9$ de $2$ .

$f (1) = - 7$

Paso 3.11.4

La respuesta final es $- 7$ .

$- 7$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- 7$ .

$y = - 7$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - \frac{19}{2} \\ - 3 & - 11 \\ - 2 & - \frac{23}{2} \\ - 1 & - 11 \\ 1 & - 7 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, - \frac{23}{2})$

Foco: $(- 2, - 11)$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = - 12$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - \frac{19}{2} \\ - 3 & - 11 \\ - 2 & - \frac{23}{2} \\ - 1 & - 11 \\ 1 & - 7 \end{array}$

Paso 5