Preálgebra Ejemplos

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 32 x - 48}{x - 6}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 32 x - 48}{x - 6}$ no está definida.

$x = 6$

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$32 x$

$48$

Paso 6.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$

Paso 6.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Paso 6.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Paso 6.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Paso 6.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$

Paso 6.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$

Paso 6.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 6.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} + 24 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$

Paso 6.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$

Paso 6.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$

Paso 6.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $8 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$

Paso 6.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$
							+	$8 x$	-	$48$

Paso 6.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $8 x - 48$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$
							-	$8 x$	+	$48$

Paso 6.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$6$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$32 x$	-	$48$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$24 x$
							+	$8 x$	-	$48$
							-	$8 x$	+	$48$
										$0$

Paso 6.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 4 x + 8$

Paso 6.17

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x^{2} - 4 x$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x^{2} - 4 x$

Paso 8