Preálgebra Ejemplos

$(y + 6) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe.

$y + 6 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$

Paso 1.1.2

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot ((x - 2) (x - 2))$

Paso 1.1.3

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 1.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 1.1.4.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Paso 1.1.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Paso 1.1.4.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 4 x + 4)$

Paso 1.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 6 = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 1.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.6.2.1

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 1.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 1.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot 4$

Paso 1.1.6.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.6.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2))$

Paso 1.1.6.3.2

Cancela el factor común.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Paso 1.1.6.3.3

Reescribe la expresión.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2$

Paso 1.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 - 6$

Paso 1.2.2

Resta $6$ de $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 2$

$c = - 4$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - 1 \cdot 2$

Paso 2.1.1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = - 4 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = - 4 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = - 4 - \frac{4}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.1.4

Divide $4$ por $2$ .

$e = - 4 - 1 \cdot 2$

Paso 2.1.1.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = - 4 - 2$

Paso 2.1.1.4.2.2

Resta $2$ de $- 4$ .

$e = - 6$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 6$ .

$\frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 6$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 6$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 6$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, - 6)$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, - \frac{11}{2})$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 2$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{13}{2}$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(2, - 6)$

Foco: $(2, - \frac{11}{2})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{13}{2}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(2, - 6)$

Foco: $(2, - \frac{11}{2})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{13}{2}$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Paso 3.2.1.2

Divide $0$ por $2$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 4$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Paso 3.2.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f (0) = - 4$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 - 4$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 - 4$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 2 - 4$

Paso 3.5.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.5.2.1

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} - 4$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - 4$

Paso 3.5.2.3

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4$

Paso 3.5.2.4

Escribe $- 4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1}$

Paso 3.5.2.5

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.5.2.6

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 2 - 4 \cdot 2}{2}$

Paso 3.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 4 - 4 \cdot 2}{2}$

Paso 3.5.4.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 4 - 8}{2}$

Paso 3.5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.5.1

Resta $4$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 3 - 8}{2}$

Paso 3.5.5.2

Resta $8$ de $- 3$ .

$f (1) = \frac{- 11}{2}$

Paso 3.5.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (1) = - \frac{11}{2}$

Paso 3.5.6

La respuesta final es $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{11}{2}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- \frac{11}{2}$ .

$y = - \frac{11}{2}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - 2 \cdot 4 - 4$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = \frac{16}{2} - 2 \cdot 4 - 4$

Paso 3.8.1.2

Divide $16$ por $2$ .

$f (4) = 8 - 2 \cdot 4 - 4$

Paso 3.8.1.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f (4) = 8 - 8 - 4$

Paso 3.8.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 3.8.2.1

Resta $8$ de $8$ .

$f (4) = 0 - 4$

Paso 3.8.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f (4) = - 4$

Paso 3.8.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 4$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = \frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Paso 3.11.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$f (3) = \frac{9}{2} - 6 - 4$

Paso 3.11.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.11.2.1

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} - 4$

Paso 3.11.2.2

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2} - 4$

Paso 3.11.2.3

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - 4$

Paso 3.11.2.4

Escribe $- 4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1}$

Paso 3.11.2.5

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.11.2.6

Multiplica $\frac{- 4}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Paso 3.11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = \frac{9 - 6 \cdot 2 - 4 \cdot 2}{2}$

Paso 3.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.4.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f (3) = \frac{9 - 12 - 4 \cdot 2}{2}$

Paso 3.11.4.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (3) = \frac{9 - 12 - 8}{2}$

Paso 3.11.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.5.1

Resta $12$ de $9$ .

$f (3) = \frac{- 3 - 8}{2}$

Paso 3.11.5.2

Resta $8$ de $- 3$ .

$f (3) = \frac{- 11}{2}$

Paso 3.11.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (3) = - \frac{11}{2}$

Paso 3.11.6

La respuesta final es $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{11}{2}$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 3$ es $- \frac{11}{2}$ .

$y = - \frac{11}{2}$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 4 \\ 1 & - \frac{11}{2} \\ 2 & - 6 \\ 3 & - \frac{11}{2} \\ 4 & - 4 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(2, - 6)$

Foco: $(2, - \frac{11}{2})$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 4 \\ 1 & - \frac{11}{2} \\ 2 & - 6 \\ 3 & - \frac{11}{2} \\ 4 & - 4 \end{array}$

Paso 5