Preálgebra Ejemplos

$y = - 4 x^{2} - 64 x + 1$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $- 4 x^{2} - 64 x + 1$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = - 64$

$c = 1$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 64$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (- 4)}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 32}{- 4}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $- 32$ y $- 4$ .

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 32$ .

$d = \frac{- 4 (8)}{- 4}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $- 4$ de $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 8}{- 4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 4 \cdot 8}{- 4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{8}{1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$d = 8$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 64$ a la potencia de $2$ .

$e = 1 - \frac{4096}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = 1 - \frac{4096}{- 16}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide $4096$ por $- 16$ .

$e = 1 - - 256$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 256$ .

$e = 1 + 256$

Paso 1.1.1.4.2.2

Suma $1$ y $256$ .

$e = 257$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 {(x + 8)}^{2} + 257$ .

$- 4 {(x + 8)}^{2} + 257$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - 4 {(x + 8)}^{2} + 257$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 4$

$h = - 8$

$k = 257$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 8, 257)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{16}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 8, \frac{4111}{16})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 8$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{4113}{16}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 8, 257)$

Foco: $(- 8, \frac{4111}{16})$

Eje de simetría: $x = - 8$

Directriz: $y = \frac{4113}{16}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 8, 257)$

Foco: $(- 8, \frac{4111}{16})$

Eje de simetría: $x = - 8$

Directriz: $y = \frac{4113}{16}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 9$ en la expresión.

$f (- 9) = - 4 {(- 9)}^{2} - 64 \cdot - 9 + 1$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$f (- 9) = - 4 \cdot 81 - 64 \cdot - 9 + 1$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $81$ .

$f (- 9) = - 324 - 64 \cdot - 9 + 1$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 64$ por $- 9$ .

$f (- 9) = - 324 + 576 + 1$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 324$ y $576$ .

$f (- 9) = 252 + 1$

Paso 2.2.2.2

Suma $252$ y $1$ .

$f (- 9) = 253$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $253$ .

$253$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 9$ es $253$ .

$y = 253$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 10$ en la expresión.

$f (- 10) = - 4 {(- 10)}^{2} - 64 \cdot - 10 + 1$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$f (- 10) = - 4 \cdot 100 - 64 \cdot - 10 + 1$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $100$ .

$f (- 10) = - 400 - 64 \cdot - 10 + 1$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $- 64$ por $- 10$ .

$f (- 10) = - 400 + 640 + 1$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma $- 400$ y $640$ .

$f (- 10) = 240 + 1$

Paso 2.5.2.2

Suma $240$ y $1$ .

$f (- 10) = 241$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $241$ .

$241$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 10$ es $241$ .

$y = 241$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 7$ en la expresión.

$f (- 7) = - 4 {(- 7)}^{2} - 64 \cdot - 7 + 1$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$f (- 7) = - 4 \cdot 49 - 64 \cdot - 7 + 1$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 4$ por $49$ .

$f (- 7) = - 196 - 64 \cdot - 7 + 1$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $- 64$ por $- 7$ .

$f (- 7) = - 196 + 448 + 1$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.8.2.1

Suma $- 196$ y $448$ .

$f (- 7) = 252 + 1$

Paso 2.8.2.2

Suma $252$ y $1$ .

$f (- 7) = 253$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $253$ .

$253$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 7$ es $253$ .

$y = 253$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = - 4 {(- 6)}^{2} - 64 \cdot - 6 + 1$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f (- 6) = - 4 \cdot 36 - 64 \cdot - 6 + 1$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 4$ por $36$ .

$f (- 6) = - 144 - 64 \cdot - 6 + 1$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $- 64$ por $- 6$ .

$f (- 6) = - 144 + 384 + 1$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.11.2.1

Suma $- 144$ y $384$ .

$f (- 6) = 240 + 1$

Paso 2.11.2.2

Suma $240$ y $1$ .

$f (- 6) = 241$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $241$ .

$241$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 6$ es $241$ .

$y = 241$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 241 \\ - 9 & 253 \\ - 8 & 257 \\ - 7 & 253 \\ - 6 & 241 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 8, 257)$

Foco: $(- 8, \frac{4111}{16})$

Eje de simetría: $x = - 8$

Directriz: $y = \frac{4113}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 10 & 241 \\ - 9 & 253 \\ - 8 & 257 \\ - 7 & 253 \\ - 6 & 241 \end{array}$

Paso 4