Preálgebra Ejemplos

$6 x^{\frac{2}{3}} - 41 x^{\frac{1}{3}} - 7 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$6 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 41 x^{\frac{1}{3}} - 7 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 u^{2} - 41 u - 7 = 0$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 7 = - 42$ y cuya suma es $b = - 41$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $- 41$ de $- 41 u$ .

$6 u^{2} - 41 u - 7 = 0$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $- 41$ como $1$ más $- 42$

$6 u^{2} + (1 - 42) u - 7 = 0$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 u^{2} + 1 u - 42 u - 7 = 0$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$6 u^{2} + u - 42 u - 7 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(6 u^{2} + u) - 42 u - 7 = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (6 u + 1) - 7 (6 u + 1) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $6 u + 1$ .

$(6 u + 1) (u - 7) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(6 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 7) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$6 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 7 = 0$

Paso 3

Establece $6 x^{\frac{1}{3}} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $6 x^{\frac{1}{3}} + 1$ igual a $0$ .

$6 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $6 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(6 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(6 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$6^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$216 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 3.2.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$216 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Paso 3.2.3.1.1.4

Simplifica.

$216 x = {(- 1)}^{3}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$216 x = - 1$

Paso 3.2.4

Divide cada término en $216 x = - 1$ por $216$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Divide cada término en $216 x = - 1$ por $216$ .

$\frac{216 x}{216} = \frac{- 1}{216}$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $216$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{216 x}{216} = \frac{- 1}{216}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{216}$

Paso 3.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{216}$

Paso 4

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 7$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 7 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} - 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = 7$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 7^{3}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 7^{3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 7^{3}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 7^{3}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 7^{3}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$x = 343$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(6 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 7) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{216}, 343$