Preálgebra Ejemplos

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 x^{2} + 27 x + 60}{2 x^{2}}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 27 x + 60$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x^{2}) + 27 x + 60}{2 x^{2}}$

Paso 1.1.2

Factoriza $3$ de $27 x$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x^{2}) + 3 (9 x) + 60}{2 x^{2}}$

Paso 1.1.3

Factoriza $3$ de $60$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 x^{2} + 3 (9 x) + 3 \cdot 20}{2 x^{2}}$

Paso 1.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (9 x)$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x^{2} + 9 x) + 3 \cdot 20}{2 x^{2}}$

Paso 1.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + 9 x) + 3 \cdot 20$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x^{2} + 9 x + 20)}{2 x^{2}}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2} + 9 x + 20$ con el método AC.

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Paso 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $9$ .

$4, 5$

Paso 1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 ((x + 4) (x + 5))}{2 x^{2}}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, x^{2}, 2 x^{2}$

Paso 2.2

Since $x, x^{2}, 2 x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 2$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}, x^{2}$ .

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.5

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 2.6

El MCM de $1, 1, 2$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 2.7

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 2.9

El MCM de $x^{1}, x^{2}, x^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x$

Paso 2.10

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2}$

Paso 2.11

El MCM para $x, x^{2}, 2 x^{2}$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 x^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}}$ por $2 x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{x - 4}{x} = \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}}$ por $2 x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x} (2 x^{2}) = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{x - 4}{x} x^{2} = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.2

Combina $2$ y $\frac{x - 4}{x}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{x} x^{2} = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{x} (x \cdot x) = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x - 4)}{x} (x \cdot x) = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.3.3

Reescribe la expresión.

$2 (x - 4) x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x + 2 \cdot - 4) x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.5

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$(2 x - 8) x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x \cdot x - 8 x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.7

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.7.1

Mueve $x$ .

$2 (x \cdot x) - 8 x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.2.7.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 8 x = \frac{3}{x^{2}} (2 x^{2}) + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{2} - 8 x = 2 \frac{3}{x^{2}} x^{2} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2 \frac{3}{x^{2}}$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Combina $2$ y $\frac{3}{x^{2}}$ .

$2 x^{2} - 8 x = \frac{2 \cdot 3}{x^{2}} x^{2} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$2 x^{2} - 8 x = \frac{6}{x^{2}} x^{2} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 8 x = \frac{6}{x^{2}} x^{2} + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} (2 x^{2})$

Paso 3.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 2 \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} x^{2}$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 2 \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 (x^{2})} x^{2}$

Paso 3.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 2 \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{2 x^{2}} x^{2}$

Paso 3.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{x^{2}} x^{2}$

Paso 3.3.1.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1.6.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + \frac{3 (x + 4) (x + 5)}{x^{2}} x^{2}$

Paso 3.3.1.6.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 (x + 4) (x + 5)$

Paso 3.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + (3 x + 3 \cdot 4) (x + 5)$

Paso 3.3.1.8

Multiplica $3$ por $4$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + (3 x + 12) (x + 5)$

Paso 3.3.1.9

Expande $(3 x + 12) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x (x + 5) + 12 (x + 5)$

Paso 3.3.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 12 (x + 5)$

Paso 3.3.1.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 + 12 x + 12 \cdot 5$

Paso 3.3.1.10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.10.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.10.1.1.1

Mueve $x$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 + 12 x + 12 \cdot 5$

Paso 3.3.1.10.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x^{2} + 3 x \cdot 5 + 12 x + 12 \cdot 5$

Paso 3.3.1.10.1.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x^{2} + 15 x + 12 x + 12 \cdot 5$

Paso 3.3.1.10.1.3

Multiplica $12$ por $5$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x^{2} + 15 x + 12 x + 60$

Paso 3.3.1.10.2

Suma $15 x$ y $12 x$ .

$2 x^{2} - 8 x = 6 + 3 x^{2} + 27 x + 60$

Paso 3.3.2

Suma $6$ y $60$ .

$2 x^{2} - 8 x = 3 x^{2} + 27 x + 66$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 8 x - 3 x^{2} = 27 x + 66$

Paso 4.1.2

Resta $27 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 8 x - 3 x^{2} - 27 x = 66$

Paso 4.1.3

Resta $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- x^{2} - 8 x - 27 x = 66$

Paso 4.1.4

Resta $27 x$ de $- 8 x$ .

$- x^{2} - 35 x = 66$

Paso 4.2

Resta $66$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} - 35 x - 66 = 0$

Paso 4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} - 35 x - 66$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 35 x - 66 = 0$

Paso 4.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 35 x$ .

$- (x^{2}) - (35 x) - 66 = 0$

Paso 4.3.1.3

Reescribe $- 66$ como $- 1 (66)$ .

$- (x^{2}) - (35 x) - 1 \cdot 66 = 0$

Paso 4.3.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (35 x)$ .

$- (x^{2} + 35 x) - 1 \cdot 66 = 0$

Paso 4.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 35 x) - 1 (66)$ .

$- (x^{2} + 35 x + 66) = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $x^{2} + 35 x + 66$ con el método AC.

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Paso 4.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $66$ y cuya suma es $35$ .

$2, 33$

Paso 4.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x + 2) (x + 33)) = 0$

Paso 4.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x + 2) (x + 33) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 33 = 0$

Paso 4.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.6

Establece $x + 33$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $x + 33$ igual a $0$ .

$x + 33 = 0$

Paso 4.6.2

Resta $33$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 33$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x + 2) (x + 33) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 33$