Preálgebra Ejemplos

$2^{X + 3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $2^{X + 3}$ como $2^{X} \cdot 2^{3}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Paso 1.2

Reescribe $4^{X + 1}$ como $4^{X} \cdot 4^{1}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $2^{X}$ como ${(2^{2})}^{X}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{2})}^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Paso 1.4

Reescribe ${(2^{2})}^{X}$ como ${(2^{X})}^{2}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{X})}^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Paso 1.5

Sea $u = 2^{X}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $2^{X}$ .

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Paso 1.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$u \cdot 8 + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Paso 1.5.2

Mueve $8$ a la izquierda de $u$ .

$8 u + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Paso 1.5.3

Mueve $4$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$8 u + 4 u^{2} - 320 = 0$

Paso 1.6

Factoriza $4$ de $8 u + 4 u^{2} - 320$ .

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Paso 1.6.1

Factoriza $4$ de $8 u$ .

$4 (2 u) + 4 u^{2} - 320 = 0$

Paso 1.6.2

Factoriza $4$ de $4 u^{2}$ .

$4 (2 u) + 4 (u^{2}) - 320 = 0$

Paso 1.6.3

Factoriza $4$ de $- 320$ .

$4 (2 u) + 4 u^{2} + 4 \cdot - 80 = 0$

Paso 1.6.4

Factoriza $4$ de $4 (2 u) + 4 u^{2}$ .

$4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80 = 0$

Paso 1.6.5

Factoriza $4$ de $4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80$ .

$4 (2 u + u^{2} - 80) = 0$

Paso 1.7

Factoriza.

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Paso 1.7.1

Factoriza $2 u + u^{2} - 80$ con el método AC.

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Paso 1.7.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 80$ y cuya suma es $2$ .

$- 8, 10$

Paso 1.7.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

Paso 1.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

Paso 1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2^{X}$ .

$4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

$2^{X} + 10 = 0$

Paso 3

Establece $2^{X} - 8$ igual a $0$ y resuelve $X$ .

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Paso 3.1

Establece $2^{X} - 8$ igual a $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2^{X} - 8 = 0$ en $X$ .

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Paso 3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$2^{X} = 8$

Paso 3.2.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{X} = 2^{3}$

Paso 3.2.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$X = 3$

Paso 4

Establece $2^{X} + 10$ igual a $0$ y resuelve $X$ .

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Paso 4.1

Establece $2^{X} + 10$ igual a $0$ .

$2^{X} + 10 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2^{X} + 10 = 0$ en $X$ .

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Paso 4.2.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$2^{X} = - 10$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{X}) = \ln (- 10)$

Paso 4.2.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 10)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2.4

No hay soluciones para $2^{X} = - 10$

No hay solución

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$ verdadera.

$X = 3$