Preálgebra Ejemplos

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$

Paso 1

Factoriza cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 5^{3}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})}$

Paso 1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})}$

Paso 1.3.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x - 5, x^{2} + 5 x + 25, (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $x - 5$ es $x - 5$ en sí mismo.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $x^{2} + 5 x + 25$ es $x^{2} + 5 x + 25$ en sí mismo.

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $x - 5$ es $x - 5$ en sí mismo.

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El factor para $x^{2} + 5 x + 25$ es $x^{2} + 5 x + 25$ en sí mismo.

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El MCM de $x - 5, x^{2} + 5 x + 25, x - 5, x^{2} + 5 x + 25$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ por $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ por $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $x - 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$6 x (x^{2} + 5 x + 25) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x \cdot x^{2} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 (x^{2} x^{1}) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x^{2 + 1} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$6 x^{3} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.3.3

Multiplica $25$ por $6$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.4.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.4.1.1

Mueve $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x) + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.4.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 5 x + 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25}$ al numerador.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.5.2

Factoriza $x^{2} + 5 x + 25$ de $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 (x - 5) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x - 300 \cdot - 5 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $- 300$ por $- 5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.2.2

Resta $300 x$ de $150 x$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = 2250$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Resta $2250$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 - 2250 = 0$

Paso 4.2

Resta $2250$ de $1500$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Paso 4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Factoriza $6$ de $6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{3}$ .

$6 (x^{3}) + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Paso 4.3.1.2

Factoriza $6$ de $30 x^{2}$ .

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) - 150 x - 750 = 0$

Paso 4.3.1.3

Factoriza $6$ de $- 150 x$ .

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) - 750 = 0$

Paso 4.3.1.4

Factoriza $6$ de $- 750$ .

$6 x^{3} + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Paso 4.3.1.5

Factoriza $6$ de $6 x^{3} + 6 (5 x^{2})$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Paso 4.3.1.6

Factoriza $6$ de $6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x)$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Paso 4.3.1.7

Factoriza $6$ de $6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x - 125) = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$6 ((x^{3} + 5 x^{2}) - 25 x - 125) = 0$

Paso 4.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$6 (x^{2} (x + 5) - 25 (x + 5)) = 0$

Paso 4.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 5$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 25)) = 0$

Paso 4.3.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 5^{2})) = 0$

Paso 4.3.5

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$6 ((x + 5) ((x + 5) (x - 5))) = 0$

Paso 4.3.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Paso 4.3.6

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.1

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.1.1

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Paso 4.3.6.1.2

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Paso 4.3.6.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 ({(x + 5)}^{1 + 1} (x - 5)) = 0$

Paso 4.3.6.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$6 ({(x + 5)}^{2} (x - 5)) = 0$

Paso 4.3.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 4.5

Establece ${(x + 5)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Establece ${(x + 5)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve ${(x + 5)}^{2} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 4.5.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 4.6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - 5, 5$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$ sea verdadera.

$x = - 5$