Preálgebra Ejemplos

$x^{2} + {(x - 5)}^{2} = 10$

Paso 1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 1.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + {(x - 5)}^{2} - 10 = 0$

Paso 1.2

Simplifica $x^{2} + {(x - 5)}^{2} - 10$ .

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Paso 1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$x^{2} + (x - 5) (x - 5) - 10 = 0$

Paso 1.2.1.2

Expande $(x - 5) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x (x - 5) - 5 (x - 5) - 10 = 0$

Paso 1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5) - 10 = 0$

Paso 1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

Paso 1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

Paso 1.2.1.3.1.2

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5 - 10 = 0$

Paso 1.2.1.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$x^{2} + x^{2} - 5 x - 5 x + 25 - 10 = 0$

Paso 1.2.1.3.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$x^{2} + x^{2} - 10 x + 25 - 10 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x + 25 - 10 = 0$

Paso 1.2.3

Resta $10$ de $25$ .

$2 x^{2} - 10 x + 15 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = - 10$ y $c = 15$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 15)}}{2 \cdot 2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $15$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.3

Resta $120$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 20$ como $- 1 (20)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (20)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.7

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $15$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.3

Resta $120$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.4

Reescribe $- 20$ como $- 1 (20)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (20)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.7

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.1.7.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Paso 5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{5 + i \sqrt{5}}{2}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 15$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 8 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $15$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 120}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.3

Resta $120$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.4

Reescribe $- 20$ como $- 1 (20)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (20)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.7

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 6.1.7.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{10 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 2}$

Paso 6.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{10 \pm 2 i \sqrt{5}}{4}$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{5}}{2}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{5 - i \sqrt{5}}{2}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{5 + i \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - i \sqrt{5}}{2}$