Preálgebra Ejemplos

$\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}} = 39$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}}}^{3} = 39^{3}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{27 x \sqrt{x}}$ como ${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 39^{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 39^{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(27 x \sqrt{x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 39^{3}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(27 x \sqrt{x})}^{1} = 39^{3}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$27 x \sqrt{x} = 39^{3}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Eleva $39$ a la potencia de $3$ .

$27 x \sqrt{x} = 59319$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(27 x \sqrt{x})}^{2} = 59319^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(27 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${(27 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(27 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = 59319^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

${(27 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = 59319^{2}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(27 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = 59319^{2}$

Paso 4.2.1.1.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(27 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Paso 4.2.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(27 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $1$ y $2$ .

${(27 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Paso 4.2.1.2

Aplica la regla del producto a $27 x^{\frac{3}{2}}$ .

$27^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Paso 4.2.1.3

Eleva $27$ a la potencia de $2$ .

$729 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 59319^{2}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$729 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 59319^{2}$

Paso 4.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$729 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 59319^{2}$

Paso 4.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$729 x^{3} = 59319^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Eleva $59319$ a la potencia de $2$ .

$729 x^{3} = 3518743761$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Resta $3518743761$ de ambos lados de la ecuación.

$729 x^{3} - 3518743761 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $729$ de $729 x^{3} - 3518743761$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $729$ de $729 x^{3}$ .

$729 (x^{3}) - 3518743761 = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $729$ de $- 3518743761$ .

$729 x^{3} + 729 \cdot - 4826809 = 0$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $729$ de $729 x^{3} + 729 \cdot - 4826809$ .

$729 (x^{3} - 4826809) = 0$

Paso 5.2.2

Reescribe $4826809$ como $169^{3}$ .

$729 (x^{3} - 169^{3}) = 0$

Paso 5.2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 169$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + x \cdot 169 + 169^{2})) = 0$

Paso 5.2.4

Factoriza.

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Paso 5.2.4.1

Simplifica.

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Paso 5.2.4.1.1

Mueve $169$ a la izquierda de $x$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + 169 x + 169^{2})) = 0$

Paso 5.2.4.1.2

Eleva $169$ a la potencia de $2$ .

$729 ((x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561)) = 0$

Paso 5.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$729 (x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 169 = 0$

$x^{2} + 169 x + 28561 = 0$

Paso 5.4

Establece $x - 169$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $x - 169$ igual a $0$ .

$x - 169 = 0$

Paso 5.4.2

Suma $169$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 169$

Paso 5.5

Establece $x^{2} + 169 x + 28561$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x^{2} + 169 x + 28561$ igual a $0$ .

$x^{2} + 169 x + 28561 = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $x^{2} + 169 x + 28561 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 169$ y $c = 28561$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 169 \pm \sqrt{169^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28561)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica.

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Paso 5.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.2.3.1.1

Eleva $169$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

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Paso 5.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.1.3

Resta $114244$ de $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.1.4

Reescribe $- 85683$ como $- 1 (85683)$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (85683)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.1.7

Reescribe $85683$ como $169^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.2.3.1.7.1

Factoriza $28561$ de $85683$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.1.7.2

Reescribe $28561$ como $169^{2}$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.1.9

Mueve $169$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.2.4.1.1

Eleva $169$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

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Paso 5.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.1.3

Resta $114244$ de $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.1.4

Reescribe $- 85683$ como $- 1 (85683)$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (85683)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.1.7

Reescribe $85683$ como $169^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.2.4.1.7.1

Factoriza $28561$ de $85683$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.1.7.2

Reescribe $28561$ como $169^{2}$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.1.9

Mueve $169$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.4.4

Reescribe $- 169$ como $- 1 (169)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $169 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - (- 169 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.5.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (169) - (- 169 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (169 - 169 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.5.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.2.5.1.1

Eleva $169$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 1 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 28561$ .

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Paso 5.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 4 \cdot 28561}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{28561 - 114244}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.1.3

Resta $114244$ de $28561$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.1.4

Reescribe $- 85683$ como $- 1 (85683)$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1 \cdot 85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (85683)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}$ .

$x = \frac{- 169 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{85683}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.1.7

Reescribe $85683$ como $169^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.2.5.1.7.1

Factoriza $28561$ de $85683$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{28561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.1.7.2

Reescribe $28561$ como $169^{2}$ .

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 169 \pm i \cdot (169 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.1.9

Mueve $169$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 169 \pm 169 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.5.4

Reescribe $- 169$ como $- 1 (169)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - 169 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- 169 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 169 - (169 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.5.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (169) - (169 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (169 + 169 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 5.5.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $729 (x - 169) (x^{2} + 169 x + 28561) = 0$ verdadera.

$x = 169, - \frac{169 - 169 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{169 + 169 i \sqrt{3}}{2}$