Preálgebra Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 4 x - y$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$y + y = x^{2} + 4 x$

Paso 1.1.1.1.2

Suma $y$ y $y$ .

$2 y = x^{2} + 4 x$

Paso 1.1.1.2

Divide cada término en $2 y = x^{2} + 4 x$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Divide cada término en $2 y = x^{2} + 4 x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Paso 1.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Paso 1.1.1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Paso 1.1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2}$

Paso 1.1.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2 (1)}$

Paso 1.1.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{1}$

Paso 1.1.1.2.3.1.2.4

Divide $2 x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x$

Paso 1.1.2

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{2} + 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 1.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.1.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Paso 1.1.2.3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Paso 1.1.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{2}$

Paso 1.1.2.4.2.1.4

Divide $4$ por $2$ .

$e = 0 - 1 \cdot 2$

Paso 1.1.2.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = 0 - 2$

Paso 1.1.2.4.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$e = - 2$

Paso 1.1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$

Paso 1.1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} - 2$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = - 2$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, - 2)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 1.5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, - \frac{3}{2})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 2$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = - \frac{5}{2}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = - \frac{5}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{2} + 2 (- 4)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = \frac{16}{2} + 2 (- 4)$

Paso 2.2.1.2

Divide $16$ por $2$ .

$f (- 4) = 8 + 2 (- 4)$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 8 - 8$

Paso 2.2.2

Resta $8$ de $8$ .

$f (- 4) = 0$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} + 2 (- 3)$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + 2 (- 3)$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} - 6$

Paso 2.5.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.5.3

Combina $- 6$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Paso 2.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 2.5.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.5.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 12}{2}$

Paso 2.5.5.2

Resta $12$ de $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{2}$

Paso 2.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 3) = - \frac{3}{2}$

Paso 2.5.7

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + 2 (0)$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{2} + 2 (0)$

Paso 2.8.1.2

Divide $0$ por $2$ .

$f (0) = 0 + 2 (0)$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 2.8.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 0$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2 (- 1)$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + 2 (- 1)$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} - 2$

Paso 2.11.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.11.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Paso 2.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Paso 2.11.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4}{2}$

Paso 2.11.5.2

Resta $4$ de $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{2}$

Paso 2.11.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{3}{2}$

Paso 2.11.7

La respuesta final es $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 0 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 0 \end{array}$

Paso 4