Preálgebra Ejemplos

$f (x) = - x^{2} - 10 x - 21$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $- x^{2} - 10 x - 21$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = - 21$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Paso 1.1.1.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 5$ como $- - 5$ .

$d = - - 5$

Paso 1.1.1.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$d = 5$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 21 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$e = - 21 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = - 21 - \frac{100}{- 4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide $100$ por $- 4$ .

$e = - 21 - - 25$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 25$ .

$e = - 21 + 25$

Paso 1.1.1.4.2.2

Suma $- 21$ y $25$ .

$e = 4$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + 5)}^{2} + 4$ .

$- {(x + 5)}^{2} + 4$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x + 5)}^{2} + 4$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 1$

$h = - 5$

$k = 4$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 5, 4)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.5.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 5, \frac{15}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 5$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{17}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 5, 4)$

Foco: $(- 5, \frac{15}{4})$

Eje de simetría: $x = - 5$

Directriz: $y = \frac{17}{4}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 5, 4)$

Foco: $(- 5, \frac{15}{4})$

Eje de simetría: $x = - 5$

Directriz: $y = \frac{17}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = - {(- 6)}^{2} - 10 \cdot - 6 - 21$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f (- 6) = - 1 \cdot 36 - 10 \cdot - 6 - 21$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$f (- 6) = - 36 - 10 \cdot - 6 - 21$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 6$ .

$f (- 6) = - 36 + 60 - 21$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 36$ y $60$ .

$f (- 6) = 24 - 21$

Paso 2.2.2.2

Resta $21$ de $24$ .

$f (- 6) = 3$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 6$ es $3$ .

$y = 3$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 7$ en la expresión.

$f (- 7) = - {(- 7)}^{2} - 10 \cdot - 7 - 21$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$f (- 7) = - 1 \cdot 49 - 10 \cdot - 7 - 21$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$f (- 7) = - 49 - 10 \cdot - 7 - 21$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 7$ .

$f (- 7) = - 49 + 70 - 21$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.2.1

Suma $- 49$ y $70$ .

$f (- 7) = 21 - 21$

Paso 2.5.2.2

Resta $21$ de $21$ .

$f (- 7) = 0$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 7$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = - {(- 4)}^{2} - 10 \cdot - 4 - 21$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = - 1 \cdot 16 - 10 \cdot - 4 - 21$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (- 4) = - 16 - 10 \cdot - 4 - 21$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 4$ .

$f (- 4) = - 16 + 40 - 21$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Suma $- 16$ y $40$ .

$f (- 4) = 24 - 21$

Paso 2.8.2.2

Resta $21$ de $24$ .

$f (- 4) = 3$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $3$ .

$y = 3$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} - 10 \cdot - 3 - 21$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 10 \cdot - 3 - 21$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (- 3) = - 9 - 10 \cdot - 3 - 21$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $- 10$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 30 - 21$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.2.1

Suma $- 9$ y $30$ .

$f (- 3) = 21 - 21$

Paso 2.11.2.2

Resta $21$ de $21$ .

$f (- 3) = 0$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 0 \\ - 6 & 3 \\ - 5 & 4 \\ - 4 & 3 \\ - 3 & 0 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 5, 4)$

Foco: $(- 5, \frac{15}{4})$

Eje de simetría: $x = - 5$

Directriz: $y = \frac{17}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & 0 \\ - 6 & 3 \\ - 5 & 4 \\ - 4 & 3 \\ - 3 & 0 \end{array}$

Paso 4