Preálgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 3$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y ${(x + 4)}^{2}$ .

$y = \frac{{(x + 4)}^{2}}{4} + 3$

Paso 1.1.2

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 3$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = 3$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 4, 3)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica mediante la división de números.

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Paso 1.5.3.2.1

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 1.5.3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 4, 4)$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 4$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = 2$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 4, 3)$

Foco: $(- 4, 4)$

Eje de simetría: $x = - 4$

Directriz: $y = 2$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 4, 3)$

Foco: $(- 4, 4)$

Eje de simetría: $x = - 4$

Directriz: $y = 2$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + 7$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{4} + 2 (- 6) + 7$

Paso 2.2.1.2

Divide $36$ por $4$ .

$f (- 6) = 9 + 2 (- 6) + 7$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f (- 6) = 9 - 12 + 7$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta $12$ de $9$ .

$f (- 6) = - 3 + 7$

Paso 2.2.2.2

Suma $- 3$ y $7$ .

$f (- 6) = 4$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 6$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + 7$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + 2 (- 5) + 7$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} - 10 + 7$

Paso 2.5.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.5.2.1

Escribe $- 10$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} + 7$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $\frac{- 10}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{4}{4} + 7$

Paso 2.5.2.3

Multiplica $\frac{- 10}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + 7$

Paso 2.5.2.4

Escribe $7$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1}$

Paso 2.5.2.5

Multiplica $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.5.2.6

Multiplica $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 4 + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $- 10$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $7$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 28}{4}$

Paso 2.5.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.5.1

Resta $40$ de $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 15 + 28}{4}$

Paso 2.5.5.2

Suma $- 15$ y $28$ .

$f (- 5) = \frac{13}{4}$

Paso 2.5.6

La respuesta final es $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 5$ es $\frac{13}{4}$ .

$y = \frac{13}{4}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 2 (- 2) + 7$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4} + 2 (- 2) + 7$

Paso 2.8.1.2

Divide $4$ por $4$ .

$f (- 2) = 1 + 2 (- 2) + 7$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 1 - 4 + 7$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Resta $4$ de $1$ .

$f (- 2) = - 3 + 7$

Paso 2.8.2.2

Suma $- 3$ y $7$ .

$f (- 2) = 4$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $4$ .

$y = 4$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + 7$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + 2 (- 3) + 7$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} - 6 + 7$

Paso 2.11.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.11.2.1

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} + 7$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 7$

Paso 2.11.2.3

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 7$

Paso 2.11.2.4

Escribe $7$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1}$

Paso 2.11.2.5

Multiplica $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.11.2.6

Multiplica $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 4 + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.4.1

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 7 \cdot 4}{4}$

Paso 2.11.4.2

Multiplica $7$ por $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 28}{4}$

Paso 2.11.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.11.5.1

Resta $24$ de $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 15 + 28}{4}$

Paso 2.11.5.2

Suma $- 15$ y $28$ .

$f (- 3) = \frac{13}{4}$

Paso 2.11.6

La respuesta final es $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $\frac{13}{4}$ .

$y = \frac{13}{4}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 4 \\ - 5 & \frac{13}{4} \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{13}{4} \\ - 2 & 4 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 4, 3)$

Foco: $(- 4, 4)$

Eje de simetría: $x = - 4$

Directriz: $y = 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 4 \\ - 5 & \frac{13}{4} \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{13}{4} \\ - 2 & 4 \end{array}$

Paso 4