Preálgebra Ejemplos

$f (x) = {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{5}{2}$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{3}{2}$

$k = \frac{5}{2}$

Paso 1.2

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Paso 1.4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.5

Obtén el foco.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Paso 1.6

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 1.7

Obtén la directriz.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{9}{4}$

Paso 1.8

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Foco: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{2}$

Directriz: $y = \frac{9}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Foco: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{2}$

Directriz: $y = \frac{9}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{19}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + \frac{19}{4}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + \frac{19}{4}$

Paso 2.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1} - 3 + \frac{19}{4}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3 + \frac{19}{4}$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{4}{4} - 3 + \frac{19}{4}$

Paso 2.2.2.4

Escribe $- 3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} + \frac{19}{4}$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19}{4}$

Paso 2.2.2.6

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{19}{4}$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{4 - 3 \cdot 4 + 19}{4}$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (1) = \frac{4 - 12 + 19}{4}$

Paso 2.2.4.2

Resta $12$ de $4$ .

$f (1) = \frac{- 8 + 19}{4}$

Paso 2.2.4.3

Suma $- 8$ y $19$ .

$f (1) = \frac{11}{4}$

Paso 2.2.5

La respuesta final es $\frac{11}{4}$ .

$\frac{11}{4}$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = 1$ es $\frac{11}{4}$ .

$y = \frac{11}{4}$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + \frac{19}{4}$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + \frac{19}{4}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + \frac{19}{4}$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{19}{4}$

Paso 2.5.2.2

Suma $0$ y $\frac{19}{4}$ .

$f (0) = \frac{19}{4}$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $\frac{19}{4}$ .

$\frac{19}{4}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = 0$ es $\frac{19}{4}$ .

$y = \frac{19}{4}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + \frac{19}{4}$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = 9 - 3 \cdot 3 + \frac{19}{4}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f (3) = 9 - 9 + \frac{19}{4}$

Paso 2.8.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

Escribe $9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (3) = \frac{9}{1} - 9 + \frac{19}{4}$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $\frac{9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{19}{4}$

Paso 2.8.2.3

Multiplica $\frac{9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{19}{4}$

Paso 2.8.2.4

Escribe $- 9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{19}{4}$

Paso 2.8.2.5

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19}{4}$

Paso 2.8.2.6

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (3) = \frac{9 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{19}{4}$

Paso 2.8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = \frac{9 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 19}{4}$

Paso 2.8.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.4.1

Multiplica $9$ por $4$ .

$f (3) = \frac{36 - 9 \cdot 4 + 19}{4}$

Paso 2.8.4.2

Multiplica $- 9$ por $4$ .

$f (3) = \frac{36 - 36 + 19}{4}$

Paso 2.8.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.5.1

Resta $36$ de $36$ .

$f (3) = \frac{0 + 19}{4}$

Paso 2.8.5.2

Suma $0$ y $19$ .

$f (3) = \frac{19}{4}$

Paso 2.8.6

La respuesta final es $\frac{19}{4}$ .

$\frac{19}{4}$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 3$ es $\frac{19}{4}$ .

$y = \frac{19}{4}$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 + \frac{19}{4}$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = 16 - 3 \cdot 4 + \frac{19}{4}$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (4) = 16 - 12 + \frac{19}{4}$

Paso 2.11.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.2.1

Escribe $16$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (4) = \frac{16}{1} - 12 + \frac{19}{4}$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $\frac{16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4} - 12 + \frac{19}{4}$

Paso 2.11.2.3

Multiplica $\frac{16}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} - 12 + \frac{19}{4}$

Paso 2.11.2.4

Escribe $- 12$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} + \frac{19}{4}$

Paso 2.11.2.5

Multiplica $\frac{- 12}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19}{4}$

Paso 2.11.2.6

Multiplica $\frac{- 12}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4} + \frac{19}{4}$

Paso 2.11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = \frac{16 \cdot 4 - 12 \cdot 4 + 19}{4}$

Paso 2.11.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.4.1

Multiplica $16$ por $4$ .

$f (4) = \frac{64 - 12 \cdot 4 + 19}{4}$

Paso 2.11.4.2

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$f (4) = \frac{64 - 48 + 19}{4}$

Paso 2.11.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.5.1

Resta $48$ de $64$ .

$f (4) = \frac{16 + 19}{4}$

Paso 2.11.5.2

Suma $16$ y $19$ .

$f (4) = \frac{35}{4}$

Paso 2.11.6

La respuesta final es $\frac{35}{4}$ .

$\frac{35}{4}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 4$ es $\frac{35}{4}$ .

$y = \frac{35}{4}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{19}{4} \\ 1 & \frac{11}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ 3 & \frac{19}{4} \\ 4 & \frac{35}{4} \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$

Foco: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{4})$

Eje de simetría: $x = \frac{3}{2}$

Directriz: $y = \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & \frac{19}{4} \\ 1 & \frac{11}{4} \\ \frac{3}{2} & \frac{5}{2} \\ 3 & \frac{19}{4} \\ 4 & \frac{35}{4} \end{array}$

Paso 4