Preálgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén las asíntotas.

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Paso 1.1

Obtén dónde la expresión $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ no está definida.

$x \leq 0$

Paso 1.2

Como $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la izquierda y $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $0$ desde la derecha, entonces $x = 0$ es una asíntota vertical.

$x = 0$

Paso 1.3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 1.3.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.3.2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.3.2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.3.2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.2.1.2.3.1

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Paso 1.3.2.1.2.3.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Paso 1.3.2.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.3.2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 1.3.2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 1.3.2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.2.3.4.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.2.3.5

Resta $\frac{1}{x}$ de $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

Paso 1.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 1.3.2.5

Combina factores.

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Paso 1.3.2.5.1

Multiplica $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

Paso 1.3.2.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

Paso 1.3.2.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

Paso 1.3.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Paso 1.3.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

Paso 1.3.3

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.3.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.5.1.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 1$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 1.3.5.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Paso 1.3.5.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 0$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$

Paso 1.4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 0$

Paso 1.5

No hay asíntotas oblicuas para las funciones logarítmicas y trigonométricas.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 1.6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

Paso 2

Obtén el punto en $x = 1$ .

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

Paso 2.2.1.3

Suma $1$ y $0$ .

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

Paso 2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1}$

Paso 2.2.2.3

Divide $2$ por $1$ .

$f (1) = 2$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 2.3

Convierte $2$ a decimal.

$y = 2$

Paso 3

Obtén el punto en $x = 2$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2$ de ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común.

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Paso 3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

Paso 3.2.2

La respuesta final es $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ .

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

Paso 3.3

Convierte $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ a decimal.

$y = 0.1534264$

Paso 4

Obtén el punto en $x = 3$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Paso 4.3

Convierte $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ a decimal.

$y = - 0.02191384$

Paso 5

La función logarítmica puede representarse gráficamente mediante la asíntota vertical en $x = 0$ y los puntos $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ .

Asíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

Paso 6