Preálgebra Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Combina ${(x + 1)}^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{2} - 3$

Paso 1.1.2

Reordena los términos.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = - 3$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 1, - 3)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Paso 1.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 1.5.3.3

Divide $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, - \frac{7}{2})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 1$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{5}{2}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 1, - 3)$

Foco: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Eje de simetría: $x = - 1$

Directriz: $y = - \frac{5}{2}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 1, - 3)$

Foco: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Eje de simetría: $x = - 1$

Directriz: $y = - \frac{5}{2}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - (- 3) - \frac{7}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- {(- 3)}^{2} - 7}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 1 \cdot 9 - 7}{2}$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 9 - 7}{2}$

Paso 2.2.3

Resta $7$ de $- 9$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 16}{2}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 3 + \frac{- 16}{2}$

Paso 2.2.4.2

Divide $- 16$ por $2$ .

$f (- 3) = 3 - 8$

Paso 2.2.5

Resta $8$ de $3$ .

$f (- 3) = - 5$

Paso 2.2.6

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $- 5$ .

$y = - 5$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - (- 2) - \frac{7}{2}$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- {(- 2)}^{2} - 7}{2}$

Paso 2.5.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 1 \cdot 4 - 7}{2}$

Paso 2.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 4 - 7}{2}$

Paso 2.5.3

Resta $7$ de $- 4$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 11}{2}$

Paso 2.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \frac{- 11}{2}$

Paso 2.5.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = 2 - \frac{11}{2}$

Paso 2.5.5

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11}{2}$

Paso 2.5.6

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{11}{2}$

Paso 2.5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 11}{2}$

Paso 2.5.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.8.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 11}{2}$

Paso 2.5.8.2

Resta $11$ de $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 7}{2}$

Paso 2.5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{7}{2}$

Paso 2.5.10

La respuesta final es $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} - (1) - \frac{7}{2}$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = - (1) + \frac{- {(1)}^{2} - 7}{2}$

Paso 2.8.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 \cdot 1 - 7}{2}$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 - 7}{2}$

Paso 2.8.3

Resta $7$ de $- 1$ .

$f (1) = - (1) + \frac{- 8}{2}$

Paso 2.8.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1 + \frac{- 8}{2}$

Paso 2.8.4.2

Divide $- 8$ por $2$ .

$f (1) = - 1 - 4$

Paso 2.8.5

Resta $4$ de $- 1$ .

$f (1) = - 5$

Paso 2.8.6

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $- 5$ .

$y = - 5$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - \frac{7}{2}$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (0) = - (0) + \frac{- {(0)}^{2} - 7}{2}$

Paso 2.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{- 0 - 7}{2}$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{0 - 7}{2}$

Paso 2.11.3

Resta $7$ de $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.11.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.4.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.11.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (0) = 0 - \frac{7}{2}$

Paso 2.11.5

Resta $\frac{7}{2}$ de $0$ .

$f (0) = - \frac{7}{2}$

Paso 2.11.6

La respuesta final es $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(- 1, - 3)$

Foco: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Eje de simetría: $x = - 1$

Directriz: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

Paso 4