Preálgebra Ejemplos

$f (x) = 45 x^{2} - 180$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $45 x^{2} - 180$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 45$

$b = 0$

$c = - 180$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 45}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 45}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 45$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (45)}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 45}$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{45}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $45$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1

Factoriza $45$ de $0$ .

$d = \frac{45 (0)}{45}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $45$ de $45$ .

$d = \frac{45 \cdot 0}{45 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{45 \cdot 0}{45 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$d = 0$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 180 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 45}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = - 180 - \frac{0}{4 \cdot 45}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $45$ .

$e = - 180 - \frac{0}{180}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Divide $0$ por $180$ .

$e = - 180 - 0$

Paso 1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = - 180 + 0$

Paso 1.1.4.2.2

Suma $- 180$ y $0$ .

$e = - 180$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $45 {(x + 0)}^{2} - 180$ .

$45 {(x + 0)}^{2} - 180$

Paso 1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 45 {(x + 0)}^{2} - 180$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 45$

$h = 0$

$k = - 180$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, - 180)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 45}$

Paso 5.3

Multiplica $4$ por $45$ .

$\frac{1}{180}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - \frac{32399}{180})$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{32401}{180}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(0, - 180)$

Foco: $(0, - \frac{32399}{180})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = - \frac{32401}{180}$

Paso 10