Preálgebra Ejemplos

$f (x) = - \frac{9}{2} x^{2} + \frac{1}{3} + 6$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Simplifica $- \frac{9}{2} x^{2} + \frac{1}{3} + 6$ .

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Paso 1.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cdot 9}{2} + \frac{1}{3} + 6$

Paso 1.1.1.1.2

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} + 6$

Paso 1.1.1.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} + 6 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.1.1.3

Combina $6$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3}$

Paso 1.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1 + 6 \cdot 3}{3}$

Paso 1.1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.5.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{1 + 18}{3}$

Paso 1.1.1.5.2

Suma $1$ y $18$ .

$y = - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 1.1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{19}{3}$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{9}{2}$

$b = 0$

$c = \frac{19}{3}$

Paso 1.1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{9}{2})}$

Paso 1.1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 1.1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{9}{2})}$

Paso 1.1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{9}{2})}$

Paso 1.1.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{- \frac{9}{2}}$

Paso 1.1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 0 (- \frac{2}{9})$

Paso 1.1.2.3.2.3

Multiplica $0 (- \frac{2}{9})$ .

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Paso 1.1.2.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$d = 0 (\frac{2}{9})$

Paso 1.1.2.3.2.3.2

Multiplica $0$ por $\frac{2}{9}$ .

$d = 0$

Paso 1.1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{9}{2})}$

Paso 1.1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{4 (- \frac{9}{2})}$

Paso 1.1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{- 4 (\frac{9}{2})}$

Paso 1.1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{9}{2}$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{\frac{- 4 \cdot 9}{2}}$

Paso 1.1.2.4.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{\frac{- 36}{2}}$

Paso 1.1.2.4.2.1.4

Divide $- 36$ por $2$ .

$e = \frac{19}{3} - \frac{0}{- 18}$

Paso 1.1.2.4.2.1.5

Divide $0$ por $- 18$ .

$e = \frac{19}{3} - 0$

Paso 1.1.2.4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = \frac{19}{3} + 0$

Paso 1.1.2.4.2.2

Suma $\frac{19}{3}$ y $0$ .

$e = \frac{19}{3}$

Paso 1.1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{9}{2} {(x + 0)}^{2} + \frac{19}{3}$ .

$- \frac{9}{2} {(x + 0)}^{2} + \frac{19}{3}$

Paso 1.1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{9}{2} \cdot {(x + 0)}^{2} + \frac{19}{3}$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{9}{2}$

$h = 0$

$k = \frac{19}{3}$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, \frac{19}{3})$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{9}{2})}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{9}{2})}$

Paso 1.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{9}{2})}$

Paso 1.5.3.2

Combina $4$ y $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 9}{2}}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.3.1

Multiplica $4$ por $9$ .

$- \frac{1}{\frac{36}{2}}$

Paso 1.5.3.3.2

Divide $36$ por $2$ .

$- \frac{1}{18}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, \frac{113}{18})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 0$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = \frac{115}{18}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, \frac{19}{3})$

Foco: $(0, \frac{113}{18})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{115}{18}$

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, \frac{19}{3})$

Foco: $(0, \frac{113}{18})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{115}{18}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - \frac{9 {(- 1)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 1}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$f (- 1) = - \frac{9}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.2.2

Para escribir $- \frac{9}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Paso 2.2.3

Para escribir $\frac{19}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.2.4.3

Multiplica $\frac{19}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 2.2.4.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (- 1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{6}$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{- 9 \cdot 3 + 19 \cdot 2}{6}$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 27 + 19 \cdot 2}{6}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $19$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 27 + 38}{6}$

Paso 2.2.6.3

Suma $- 27$ y $38$ .

$f (- 1) = \frac{11}{6}$

Paso 2.2.7

La respuesta final es $\frac{11}{6}$ .

$\frac{11}{6}$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $\frac{11}{6}$ .

$y = \frac{11}{6}$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - \frac{9 {(- 2)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Cancela el factor común de ${(- 2)}^{2}$ y $2$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = - \frac{9 {(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = - \frac{9 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = - \frac{9 (1 \cdot 2^{2})}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.1.1.4

Multiplica $2^{2}$ por $1$ .

$f (- 2) = - \frac{9 \cdot 2^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.1.1.5

Factoriza $2$ de $9 \cdot 2^{2}$ .

$f (- 2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.1.1.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- 2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 (1)} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- 2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 \cdot 1} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- 2) = - \frac{9 \cdot 2}{1} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.1.1.6.4

Divide $9 \cdot 2$ por $1$ .

$f (- 2) = - (9 \cdot 2) + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- (9 \cdot 2)$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $9$ por $2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 18 + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $18$ .

$f (- 2) = - 18 + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.2

Para escribir $- 18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - 18 \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.3

Combina $- 18$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{- 18 \cdot 3}{3} + \frac{19}{3}$

Paso 2.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 2) = \frac{- 18 \cdot 3 + 19}{3}$

Paso 2.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.5.1

Multiplica $- 18$ por $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 54 + 19}{3}$

Paso 2.5.5.2

Suma $- 54$ y $19$ .

$f (- 2) = \frac{- 35}{3}$

Paso 2.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 2) = - \frac{35}{3}$

Paso 2.5.7

La respuesta final es $- \frac{35}{3}$ .

$- \frac{35}{3}$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 2$ es $- \frac{35}{3}$ .

$y = - \frac{35}{3}$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \frac{9 {(1)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - \frac{9 \cdot 1}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{9}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.8.2

Para escribir $- \frac{9}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Paso 2.8.3

Para escribir $\frac{19}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.8.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.8.4.1

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.8.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.8.4.3

Multiplica $\frac{19}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Paso 2.8.4.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (1) = - \frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{19 \cdot 2}{6}$

Paso 2.8.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{- 9 \cdot 3 + 19 \cdot 2}{6}$

Paso 2.8.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.6.1

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$f (1) = \frac{- 27 + 19 \cdot 2}{6}$

Paso 2.8.6.2

Multiplica $19$ por $2$ .

$f (1) = \frac{- 27 + 38}{6}$

Paso 2.8.6.3

Suma $- 27$ y $38$ .

$f (1) = \frac{11}{6}$

Paso 2.8.7

La respuesta final es $\frac{11}{6}$ .

$\frac{11}{6}$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = 1$ es $\frac{11}{6}$ .

$y = \frac{11}{6}$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - \frac{9 {(2)}^{2}}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Cancela el factor común de ${(2)}^{2}$ y $2$ .

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Paso 2.11.1.1.1

Factoriza $2$ de $9 {(2)}^{2}$ .

$f (2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2} + \frac{19}{3}$

Paso 2.11.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.11.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 (1)} + \frac{19}{3}$

Paso 2.11.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (2) = - \frac{2 (9 \cdot 2)}{2 \cdot 1} + \frac{19}{3}$

Paso 2.11.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2) = - \frac{9 \cdot 2}{1} + \frac{19}{3}$

Paso 2.11.1.1.2.4

Divide $9 \cdot 2$ por $1$ .

$f (2) = - (9 \cdot 2) + \frac{19}{3}$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $- (9 \cdot 2)$ .

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Paso 2.11.1.2.1

Multiplica $9$ por $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 18 + \frac{19}{3}$

Paso 2.11.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $18$ .

$f (2) = - 18 + \frac{19}{3}$

Paso 2.11.2

Para escribir $- 18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = - 18 \cdot \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Paso 2.11.3

Combina $- 18$ y $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{- 18 \cdot 3}{3} + \frac{19}{3}$

Paso 2.11.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{- 18 \cdot 3 + 19}{3}$

Paso 2.11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.5.1

Multiplica $- 18$ por $3$ .

$f (2) = \frac{- 54 + 19}{3}$

Paso 2.11.5.2

Suma $- 54$ y $19$ .

$f (2) = \frac{- 35}{3}$

Paso 2.11.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (2) = - \frac{35}{3}$

Paso 2.11.7

La respuesta final es $- \frac{35}{3}$ .

$- \frac{35}{3}$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- \frac{35}{3}$ .

$y = - \frac{35}{3}$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{35}{3} \\ - 1 & \frac{11}{6} \\ 0 & \frac{19}{3} \\ 1 & \frac{11}{6} \\ 2 & - \frac{35}{3} \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(0, \frac{19}{3})$

Foco: $(0, \frac{113}{18})$

Eje de simetría: $x = 0$

Directriz: $y = \frac{115}{18}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{35}{3} \\ - 1 & \frac{11}{6} \\ 0 & \frac{19}{3} \\ 1 & \frac{11}{6} \\ 2 & - \frac{35}{3} \end{array}$

Paso 4