Preálgebra Ejemplos

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y + 9 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $9 x^{2} - 18 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 18$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 9}{9}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 9$ y $9$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $324$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Paso 1.3

Sustituye $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ por $9 x^{2} - 18 x$ en la ecuación $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 + 5 y^{2} + 30 y = - 9$

Paso 1.4

Mueve $- 9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $9$ a ambos lados.

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 y^{2} + 30 y = - 9 + 9$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $5 y^{2} + 30 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 5$

$b = 30$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{30}{2 \cdot 5}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $30$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 5}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 (5)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 5}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{15}{5}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $15$ y $5$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 (1)}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{30^{2}}{4 \cdot 5}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $30$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{900}{4 \cdot 5}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$e = 0 - \frac{900}{20}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $900$ por $20$ .

$e = 0 - 1 \cdot 45$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $45$ .

$e = 0 - 45$

Paso 1.5.4.2.2

Resta $45$ de $0$ .

$e = - 45$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $5 {(y + 3)}^{2} - 45$ .

$5 {(y + 3)}^{2} - 45$

Paso 1.6

Sustituye $5 {(y + 3)}^{2} - 45$ por $5 y^{2} + 30 y$ en la ecuación $9 x^{2} + 5 y^{2} - 18 x + 30 y = - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} - 45 = - 9 + 9$

Paso 1.7

Mueve $- 45$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $45$ a ambos lados.

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = - 9 + 9 + 45$

Paso 1.8

Simplifica $- 9 + 9 + 45$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 9$ y $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = 0 + 45$

Paso 1.8.2

Suma $0$ y $45$ .

$9 {(x - 1)}^{2} + 5 {(y + 3)}^{2} = 45$

Paso 1.9

Divide cada término por $45$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{45} + \frac{5 {(y + 3)}^{2}}{45} = \frac{45}{45}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{5} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 3$

$b = \sqrt{5}$

$k = - 3$

$h = 1$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(1, - 3)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{9 - 5^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{9 - 1 \cdot 5}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\sqrt{9 - 5}$

Paso 5.3.3.2

Resta $5$ de $9$ .

$\sqrt{4}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Paso 5.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(1, - 3 + 3)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(1, 0)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(1, - 3 - (3))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(1, - 6)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(1, - 3 + 2)$

Paso 7.3

Simplifica.

$(1, - 1)$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(1, - 3 - (2))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(1, - 5)$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}}{3}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {\sqrt{5}}^{2}}}{3}$

Paso 8.3.2

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 8.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Paso 8.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Paso 8.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{9 - 5^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{9 - 5^{1}}}{3}$

Paso 8.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 5}}{3}$

Paso 8.3.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{9 - 5}}{3}$

Paso 8.3.4

Resta $5$ de $9$ .

$\frac{\sqrt{4}}{3}$

Paso 8.3.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{3}$

Paso 8.3.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{2}{3}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 1)$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 5)$

Excentricidad: $\frac{2}{3}$

Paso 10